脱殊复宇宙、复复宇宙
脱殊扩张：是说包含V-可定义的偏序集P.然后P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G
这个脱殊滤子对于V而言就有一种transcendence的感觉（即脱殊）接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构：（V的）
脱殊扩张V[G].作为一个ZFC的模型。
那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张（和一些groundmodels）下closure形式的宇宙V
这是woodin的成果之一。
它确保了广义连续统的成立。
脱殊复宇宙假设：脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子，存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙，每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为“平行宇宙”
脱殊复宇宙与复宇宙：在Hamkins关于复宇宙的描述出现之前，Woodin等人就提出过脱殊复宇宙(genericmultiverse)的概念(参见[12]、[14]等)
Hamkins的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同
脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合
例如，假设M是一个可数传递的ZFC模型
任给可数传递ZFC模型M1，M2，我们定义M1～Mz当且仅当M2是M；的力迫扩张或M；是M2的力迫扩张，则Va=[M]是由M生成的脱殊复宇宙
定理(Laver9-Woodin-Reitz10])如果V是W的力迫扩张(即W是V的基模型)，那么W是V的内模型
并且存在V的所有基模型的统一的定义
即，存在集合论公式p(r，3)使得，如果V=WG是由W中的偏序P上的脱殊滤GCP生成的脱殊扩张，那么存在rW使W=fx|(ra)3
根据上述定理，容易看出Hamkins的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙
显然，脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙，这是因为，Hamkins通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观，而我认为脱殊复宇宙在Woodin等人著作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协脱殊复宇宙
定义1
令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊多宇宙VM为满足以下条件的最小模型类:
1.M∈VM;
2.如果N∈VM，而N'=N[G]是N的脱殊扩张，则N'∈VM;
3.如果N∈VM，而N=N'[G]是N'的脱殊扩张，则N'∈VM。
简单说，VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。
定义2.2(脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是M-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在VM的每个模型中都真，记作VM=σ;
σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅当VMF7σ;
σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。
特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V=σ。
脱殊扩张:力迫法
连续统假设的否定的一一致性，即(222)
ZFC-Com(ZFC)→Com(ZFC+-CH)
与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同，力迫法所构造的模型M[GI是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。
假设ZFC一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。
就存在一个ZFC的集合模型。
再由定理2.35
及Motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(grondmoder)
元素称作条件(onditon)
对ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小
我们称条件p比η强;若p⊥小
即不存在r∈P满足r≤ρ且r≤小
则称条件ρ与q不相容或不能同真。
定义2.2.0假设P是偏序我们称DSP是網密的(demwe)
当且仅当对任意ρ∈P，存在η∈D满足η≤p
给定pEP
我们说DSP在p之下稠密。
当且仅当DNPIp是PIr的稠密F集，其中PIp={q∈P|qs小。
定义2.2.7假设P是偏序，我们称FCP是偏序P上的滤，当且仅当PP
(2)若p∈F且p<y.则η∈F
定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤
我们称P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G
我们一般要求力迫法的原模型M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。
假文(D1<N是M中所有所有D
都是稠密的，所以p总能够取到。
令G={v∈P|3i<n(ws小}
容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。
因此，可数模型中的任意偏序上:总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序P没有任何额外要求。
但在力迫法的实际运用中，偏序集P椰满足如下性质，(22)
对任意p∈P，存在qsp.rSμ满足q⊥r
定理2.2.9P∈M1是偏序。
P满足(223)
当且仪当任意P上脱殊
因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈
又根据定理2.16
由此生成的脱殊模型MI(C]=M，将没有意义。
我们称之为平凡力迫。
他的世界，而这种在M中的人们看来可能的世界。
在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MI(G]
我们定义M中人们用来指称MI(C)中对象的专名(但名)的集合M“:
定义2.2.10r是P名，当且仅当+是关系，且对任意(.D)∈T，π是只名且ρ∈P
注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。
定义22.11τ是P名，G:是脱殊滤.✧={t°1(Br∈(，1E小
定义脱蛛扩张
MIG(={r°IreMr)
注意，r的定义也是递归的。
我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。
定义2.2.18G=(.川)1pe则)
注意，C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈M.G是M中的人们用来指称G的名字，但生活在M中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:WWw.M(q)
最后，我们定义力迫语言的语义。
即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系
定义22川)μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η一η当且仅当ρlηSηHplηζη
l在之下稠密当集合{0≤p30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)pHρ入ψ
当且仅当pHp且pe
(3)plHψ
当且仅当对任意ηSp井非q14
pFarp，当且仅当集合{veP|3(r是P名(4)在ρ之下
上建定文中，中的(n)
是基于办刀所属阶层的遭归定义
该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。
在M下是绝对的。而整个定义。
即-(v)，
应被视为基于公式复尔度的通的定义。
注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为MN中的人“所掌握的关于M(C]的一般知识的体系。
即如果p力迫φ
那么无论MI(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则ρ也真(s
这正是下述定理所表达的
定理2.2.15
M是ZFC的可数传递模型，P是N中偏序，G是P上(相对于M)的脱殊滤。
则存在M的脱殊扩张M|GI，给定公式.......(所有自由变元已列出)和....则.....当且仪当和eG(n4......由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。
定理2.2.16(脱殊扩张基本定理)M是ZFC的可数传通模型，P是M中偏序，G题P上(相对于M)的脱殊滤。
则存在M的脱殊扩张MICI，满足:(1)MIG]见ZFC的传通模型。
(2)MSMI(G]lGeM(]:
(3)M[G]是满足(1).(2)的最小极型。
品然，脱殊扩张sM(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计M中的偏序P来逐步迫近那个无法在M中存在的脱殊池G
使得生成的G见证了M(G]满足我们所希望的性质。
脱殊复公式为：T=(2G/c^2)*(M/R)其中，T表示脱殊时间，G表示引力常数，c表示光速，M表示宇宙质量，R表示宇宙半径。
脱殊复复宇宙
定义(复复宇宙公理)：存在一个复宇宙，并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
类似定理5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的
公理5.2.10
令N是ZFC+Con(ZFC)的模型.则N中的复宇宙M⁰从外面看仍然是一个复宇宙，即¹¹¹⁰⁰⁰\u2064\u2064M¹=(m¹，E¹)|N=(m⁰，E⁰)∈M⁰\u2064\u2064是一个复宇宙
证明(1)可数化公理，给定¹¹¹\u2064\u2064(m¹，E¹)∈M¹.\u2064\u2064
由N中的可数化公理，存在n⁰.F⁰∈N，有\u2064\u2064
Ni(n0，F0)∈M0∧F(n0，F0)≠m0\u2064\u2064是可数的⁷
由定义，(n¹，F¹)∈M¹;由(5.2.1)，(n¹，F¹)=m⁰是可数的.由注5.2.2，我们说m¹是n¹中的一个可数集合
类似地，我们也有
(2)伪良基公理
(3)可实现公理，给定¹¹¹、¹(m¹，E¹)∈M¹、a∈m¹\u2064\u2064
以及公式φ(v₁，v₂)
由N中的可实现公理，存在n⁰∈N，使得
N=n°={x∈m³|(m⁹，E⁰)=φ[x，a]}∧(n⁰，E⁰)∈M⁰\u2064\u2064
∧T(m0，E0)=T(n0，E0)=ZFC−T.\u2064\u2064
所以，我们有\u2064\u2064(n1，E1)∈M1;\u2064\u2064
并且对任意x∈m¹⊆N，\u2064\u2064x∈n2⟺N=x∈n0\u2064\u2064
(5.2.2)
\u2064\u2064⟺N=r(m0，E0)|=φ[x，a]−\u2064\u2064\u2064\u2064
⟺(m1，E1)=φ[x，a]\u2064\u2064
可得n¹={x∈m¹|(m¹，E¹)|=φ[x，a]}是模型m³中参数可定义的类：
又由(¹¹ʳ⁰⁰⁷\u2064\u20645.2.1)，(m¹，E¹)=ʳ(n⁰，E⁰)=ZFC⁷，\u2064\u2064因此我们说(m¹，E¹)认为(n³，E¹)是一个ZFC模型
(4)力迫扩张公理，给定模型m³∈M¹，公式φ和参数a∈m³，φ(x，a)在m³中定义了一个偏序P¹，由N中的力迫扩张公理，存在N中的n⁰.G°，使得N=n⁰∈M⁰∧G⁰是P⁰上的m⁰脱殊滤∧n⁹=m³[G⁰]
首先，我们有：n¹∈M¹.其次，我们希望G¹={x∈N|N|x∈G⁰}是P¹上的m¹脱殊滤
容易证明，G¹是P¹上的滤，现任给D⁰∈m¹，使得D¹={x∈m¹|
m¹=x∈D⁹}是P¹的稠密子集
则m¹=D⁰是P⁰上的稠密子集
因而N=ρm⁰|=D⁰是P⁰上的稠密子集⁷，由于N认为G°脱殊，故\u2064\u2064
N=D1N=\u2064\u2064¹⁰ᵃ⁰\u2064\u2064x∈m¹|m⁰≠x∈Dᵃ∩G⁰≠0.\u2064\u2064
即存在⁰x∈N，N=x∈G⁰\u2064\u2064
且NE\u2064\u2064[m0]=x∈D0−7\u2064\u2064
(即m¹|=x∈D⁰).因此G'∩D¹≠0
最后，我们证明n²=m²[G¹]
由定理2.2.16，我们只需证明m³⊆n³，G⁰∈n¹，并且n³所有元素，都是从G⁰和m¹中参数可定义的
m³⊆n²、G⁰∈n³，由N=m⁰⊆n⁰及NFG°∈n⁰可得，现任给x∈n³，即N=x∈n⁰
由⁰⁰⁰\u2064\u2064N=n⁰=m⁰[G⁰]，\u2064\u2064
存在公式v及参数b∈m¹使得ʳ⁰⁰⁻\u2064\u2064N=ʳn⁰=∃y(ψ(y，b，G⁰)∧x=y)⁻.\u2064\u2064
因而n³|=∃!y(v(y，b，G⁹)∧x=y)
(5)嵌入回溯公理
给定模型m11∈M1，公式φ1.42和参数\u2064\u2064a，b∈m12，\u2064\u2064假设\u2064\u2064m1l\u2064\u2064认为:“j₁(其中\u2064\u2064j11={x∈m11|m11|=φ1[x，a]}\u2064\u2064是从自身到模型\u2064\u2064m20={x∈\u2064\u2064\u2064\u2064m11|m11|=φ2[x，b]}\u2064\u2064的∑o初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为v[a，b]
则\u2064\u2064m11=∀[a，b]，\u2064\u2064由(5.2.1)，\u2064\u2064N|F|Tm10|=ψ[a，b]−1.\u2064\u2064
再由5.2.3，N认为j₁确实是初等嵌入，由N中的回溯嵌入公理，存在N中m00\u2064\u2064以及参数a₀，b₀，使得\u2064\u2064N=m00∈M0∧a0，b0∈m00∧rm00=ψ[a0，b0]−1\u2064\u2064\u2064\u2064∧j00(a0)=a∧j00(b0)=b∧m10={x∈m00|m00+φ2[x，b0]}\u2064\u2064
其中，j₀是模型\u2064\u2064m0θ\u2064\u2064中由公式φ1和参数a₀定义的.我们有，\u2064\u2064m01∈M1;\u2064\u2064类似(5.2.2)，\u2064\u2064m11={x∈m01|m01|≡φ2[x，b0]}，\u2064\u2064是模型\u2064\u2064m01\u2064\u2064中参数定义的类：在m01\u2064\u2064看来，\u2064\u2064j01={x∈m01|m01|=φ1[x，a0]}\u2064\u2064是从自身到\u2064\u2064m12\u2064\u2064的初等嵌入，即m01=ψ[a0，b0];\u2064\u2064并且j₀(a₀)=a.j₀(b₀)=b，从而\u2064\u2064j01(j01)=j11.\u2064\u2064
定理5.2.11(主定理)假设存在一个不可达基数k
令M=CCSMNR(ZFC+\u2064\u2064Con(ZFC))是\u2064\u2064VK\u2064\u2064中所有可数的可计算饱和的ZFC+Con(ZFC)模型组成的集合
则M.M={CCSMN(ZFC)|N∈M}.\u2064\u2064
是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理
证明首先，由于k是不可达基数，那么Vn是ZFC的模型，由向下的Löwenheim-Skolem定理，存在一个ZFC的可数模型(ω.R).显然，该模型也在₆\u2064\u2064
V₆\u2064\u2064中，因此，Vₓ也是ZFC+Con(ZFC)的模型，类似地，我们可以迭代任意有穷次，如ₙ\u2064\u2064
Vₙ=ZFC+Con(ZFC+Con(ZFC)).\u2064\u2064
又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112])，∥非空
对任意N∈，∥，N是ZFC+Con(ZFC)的模型
由定理\u2064\u20645.2.5，CCSMN(ZFC)\u2064\u2064的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在N看来\u2064\u2064CCSMN(ZFC)\u2064\u2064中的模型都是非良基的，由引理5.2.10，从外面看，\u2064\u2064CCSMN(ZFC)\u2064\u2064也确实是复宇宙
现在我们只需要证明存在一个.M.M中的一个复宇宙，而N是其中的一个元素
对任意\u2064\u2064N∈M，Vn=ΓN=ZFC+Th(N)T.\u2064\u2064因而，TN=ZFC+{Con(ZFC+\u2064\u2064Γ)|Γ是Th(N)的有穷子集}是一致的
由之前的分析，Vn|=Con(TN).\u2064\u2064
在Vₐ中应用引理5.2.8，存在M∈
M，在M看来N是一个可数的可计算饱和的ZFC模型，即N是复宇宙\u2064\u2064CCSMM(ZFC)\u2064\u2064中的元素
从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到，ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系
虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数
但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理，更进一步，我们可以期望有任意n阶甚至o阶的复宇宙公理，它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构
事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙之间的关系，与哥德尔的“之集合”(setof)运算的直观都非常接近
复宇宙是集合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合.而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复字宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙，无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与ZFC中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的
如果，我们仅把ZFC所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合.不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象
至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质.某个大基数公理说“性质P°不足以描述宇宙之大”，这本身是描述宇宙之大的性质，我们称作P¹，而更大的大基数又说“P¹不足以描述宇宙之大”
如此不断扩展.同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象.即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙，把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要.重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合
换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾；如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和w之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样
因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙
正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性
哥德尔在[19]的脚注18中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达
类似地，“集合的性质”(集合论的第二个主要术语)的概念给出关于它的公理的扩展，更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入，由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知)
即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集合论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙
我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的，这种期望似乎是无矛盾的，事实上，如果M=CCSMV(ZFC)\u2064\u2064并且V=Con(ZFC).那么M∪UM=V
因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突。
总之，如果多宇宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的
这个脱殊滤子对于V而言就有一种transcendence的感觉（即脱殊）接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构：（V的）
脱殊扩张V[G].作为一个ZFC的模型。
那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张（和一些groundmodels）下closure形式的宇宙V
这是woodin的成果之一。
它确保了广义连续统的成立。
脱殊复宇宙假设：脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子，存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙，每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为“平行宇宙”
脱殊复宇宙与复宇宙：在Hamkins关于复宇宙的描述出现之前，Woodin等人就提出过脱殊复宇宙(genericmultiverse)的概念(参见[12]、[14]等)
Hamkins的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同
脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合
例如，假设M是一个可数传递的ZFC模型
任给可数传递ZFC模型M1，M2，我们定义M1～Mz当且仅当M2是M；的力迫扩张或M；是M2的力迫扩张，则Va=[M]是由M生成的脱殊复宇宙
定理(Laver9-Woodin-Reitz10])如果V是W的力迫扩张(即W是V的基模型)，那么W是V的内模型
并且存在V的所有基模型的统一的定义
即，存在集合论公式p(r，3)使得，如果V=WG是由W中的偏序P上的脱殊滤GCP生成的脱殊扩张，那么存在rW使W=fx|(ra)3
根据上述定理，容易看出Hamkins的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙
显然，脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙，这是因为，Hamkins通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观，而我认为脱殊复宇宙在Woodin等人著作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协脱殊复宇宙
定义1
令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊多宇宙VM为满足以下条件的最小模型类:
1.M∈VM;
2.如果N∈VM，而N'=N[G]是N的脱殊扩张，则N'∈VM;
3.如果N∈VM，而N=N'[G]是N'的脱殊扩张，则N'∈VM。
简单说，VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。
定义2.2(脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是M-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在VM的每个模型中都真，记作VM=σ;
σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅当VMF7σ;
σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。
特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V=σ。
脱殊扩张:力迫法
连续统假设的否定的一一致性，即(222)
ZFC-Com(ZFC)→Com(ZFC+-CH)
与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同，力迫法所构造的模型M[GI是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。
假设ZFC一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。
就存在一个ZFC的集合模型。
再由定理2.35
及Motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(grondmoder)
元素称作条件(onditon)
对ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小
我们称条件p比η强;若p⊥小
即不存在r∈P满足r≤ρ且r≤小
则称条件ρ与q不相容或不能同真。
定义2.2.0假设P是偏序我们称DSP是網密的(demwe)
当且仅当对任意ρ∈P，存在η∈D满足η≤p
给定pEP
我们说DSP在p之下稠密。
当且仅当DNPIp是PIr的稠密F集，其中PIp={q∈P|qs小。
定义2.2.7假设P是偏序，我们称FCP是偏序P上的滤，当且仅当PP
(2)若p∈F且p<y.则η∈F
定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤
我们称P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G
我们一般要求力迫法的原模型M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。
假文(D1<N是M中所有所有D
都是稠密的，所以p总能够取到。
令G={v∈P|3i<n(ws小}
容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。
因此，可数模型中的任意偏序上:总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序P没有任何额外要求。
但在力迫法的实际运用中，偏序集P椰满足如下性质，(22)
对任意p∈P，存在qsp.rSμ满足q⊥r
定理2.2.9P∈M1是偏序。
P满足(223)
当且仪当任意P上脱殊
因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈
又根据定理2.16
由此生成的脱殊模型MI(C]=M，将没有意义。
我们称之为平凡力迫。
他的世界，而这种在M中的人们看来可能的世界。
在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MI(G]
我们定义M中人们用来指称MI(C)中对象的专名(但名)的集合M“:
定义2.2.10r是P名，当且仅当+是关系，且对任意(.D)∈T，π是只名且ρ∈P
注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。
定义22.11τ是P名，G:是脱殊滤.✧={t°1(Br∈(，1E小
定义脱蛛扩张
MIG(={r°IreMr)
注意，r的定义也是递归的。
我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。
定义2.2.18G=(.川)1pe则)
注意，C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈M.G是M中的人们用来指称G的名字，但生活在M中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:WWw.M(q)
最后，我们定义力迫语言的语义。
即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系
定义22川)μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η一η当且仅当ρlηSηHplηζη
l在之下稠密当集合{0≤p30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)pHρ入ψ
当且仅当pHp且pe
(3)plHψ
当且仅当对任意ηSp井非q14
pFarp，当且仅当集合{veP|3(r是P名(4)在ρ之下
上建定文中，中的(n)
是基于办刀所属阶层的遭归定义
该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。
在M下是绝对的。而整个定义。
即-(v)，
应被视为基于公式复尔度的通的定义。
注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为MN中的人“所掌握的关于M(C]的一般知识的体系。
即如果p力迫φ
那么无论MI(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则ρ也真(s
这正是下述定理所表达的
定理2.2.15
M是ZFC的可数传递模型，P是N中偏序，G是P上(相对于M)的脱殊滤。
则存在M的脱殊扩张M|GI，给定公式.......(所有自由变元已列出)和....则.....当且仪当和eG(n4......由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。
定理2.2.16(脱殊扩张基本定理)M是ZFC的可数传通模型，P是M中偏序，G题P上(相对于M)的脱殊滤。
则存在M的脱殊扩张MICI，满足:(1)MIG]见ZFC的传通模型。
(2)MSMI(G]lGeM(]:
(3)M[G]是满足(1).(2)的最小极型。
品然，脱殊扩张sM(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计M中的偏序P来逐步迫近那个无法在M中存在的脱殊池G
使得生成的G见证了M(G]满足我们所希望的性质。
脱殊复公式为：T=(2G/c^2)*(M/R)其中，T表示脱殊时间，G表示引力常数，c表示光速，M表示宇宙质量，R表示宇宙半径。
脱殊复复宇宙
定义(复复宇宙公理)：存在一个复宇宙，并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
类似定理5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的
公理5.2.10
令N是ZFC+Con(ZFC)的模型.则N中的复宇宙M⁰从外面看仍然是一个复宇宙，即¹¹¹⁰⁰⁰\u2064\u2064M¹=(m¹，E¹)|N=(m⁰，E⁰)∈M⁰\u2064\u2064是一个复宇宙
证明(1)可数化公理，给定¹¹¹\u2064\u2064(m¹，E¹)∈M¹.\u2064\u2064
由N中的可数化公理，存在n⁰.F⁰∈N，有\u2064\u2064
Ni(n0，F0)∈M0∧F(n0，F0)≠m0\u2064\u2064是可数的⁷
由定义，(n¹，F¹)∈M¹;由(5.2.1)，(n¹，F¹)=m⁰是可数的.由注5.2.2，我们说m¹是n¹中的一个可数集合
类似地，我们也有
(2)伪良基公理
(3)可实现公理，给定¹¹¹、¹(m¹，E¹)∈M¹、a∈m¹\u2064\u2064
以及公式φ(v₁，v₂)
由N中的可实现公理，存在n⁰∈N，使得
N=n°={x∈m³|(m⁹，E⁰)=φ[x，a]}∧(n⁰，E⁰)∈M⁰\u2064\u2064
∧T(m0，E0)=T(n0，E0)=ZFC−T.\u2064\u2064
所以，我们有\u2064\u2064(n1，E1)∈M1;\u2064\u2064
并且对任意x∈m¹⊆N，\u2064\u2064x∈n2⟺N=x∈n0\u2064\u2064
(5.2.2)
\u2064\u2064⟺N=r(m0，E0)|=φ[x，a]−\u2064\u2064\u2064\u2064
⟺(m1，E1)=φ[x，a]\u2064\u2064
可得n¹={x∈m¹|(m¹，E¹)|=φ[x，a]}是模型m³中参数可定义的类：
又由(¹¹ʳ⁰⁰⁷\u2064\u20645.2.1)，(m¹，E¹)=ʳ(n⁰，E⁰)=ZFC⁷，\u2064\u2064因此我们说(m¹，E¹)认为(n³，E¹)是一个ZFC模型
(4)力迫扩张公理，给定模型m³∈M¹，公式φ和参数a∈m³，φ(x，a)在m³中定义了一个偏序P¹，由N中的力迫扩张公理，存在N中的n⁰.G°，使得N=n⁰∈M⁰∧G⁰是P⁰上的m⁰脱殊滤∧n⁹=m³[G⁰]
首先，我们有：n¹∈M¹.其次，我们希望G¹={x∈N|N|x∈G⁰}是P¹上的m¹脱殊滤
容易证明，G¹是P¹上的滤，现任给D⁰∈m¹，使得D¹={x∈m¹|
m¹=x∈D⁹}是P¹的稠密子集
则m¹=D⁰是P⁰上的稠密子集
因而N=ρm⁰|=D⁰是P⁰上的稠密子集⁷，由于N认为G°脱殊，故\u2064\u2064
N=D1N=\u2064\u2064¹⁰ᵃ⁰\u2064\u2064x∈m¹|m⁰≠x∈Dᵃ∩G⁰≠0.\u2064\u2064
即存在⁰x∈N，N=x∈G⁰\u2064\u2064
且NE\u2064\u2064[m0]=x∈D0−7\u2064\u2064
(即m¹|=x∈D⁰).因此G'∩D¹≠0
最后，我们证明n²=m²[G¹]
由定理2.2.16，我们只需证明m³⊆n³，G⁰∈n¹，并且n³所有元素，都是从G⁰和m¹中参数可定义的
m³⊆n²、G⁰∈n³，由N=m⁰⊆n⁰及NFG°∈n⁰可得，现任给x∈n³，即N=x∈n⁰
由⁰⁰⁰\u2064\u2064N=n⁰=m⁰[G⁰]，\u2064\u2064
存在公式v及参数b∈m¹使得ʳ⁰⁰⁻\u2064\u2064N=ʳn⁰=∃y(ψ(y，b，G⁰)∧x=y)⁻.\u2064\u2064
因而n³|=∃!y(v(y，b，G⁹)∧x=y)
(5)嵌入回溯公理
给定模型m11∈M1，公式φ1.42和参数\u2064\u2064a，b∈m12，\u2064\u2064假设\u2064\u2064m1l\u2064\u2064认为:“j₁(其中\u2064\u2064j11={x∈m11|m11|=φ1[x，a]}\u2064\u2064是从自身到模型\u2064\u2064m20={x∈\u2064\u2064\u2064\u2064m11|m11|=φ2[x，b]}\u2064\u2064的∑o初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为v[a，b]
则\u2064\u2064m11=∀[a，b]，\u2064\u2064由(5.2.1)，\u2064\u2064N|F|Tm10|=ψ[a，b]−1.\u2064\u2064
再由5.2.3，N认为j₁确实是初等嵌入，由N中的回溯嵌入公理，存在N中m00\u2064\u2064以及参数a₀，b₀，使得\u2064\u2064N=m00∈M0∧a0，b0∈m00∧rm00=ψ[a0，b0]−1\u2064\u2064\u2064\u2064∧j00(a0)=a∧j00(b0)=b∧m10={x∈m00|m00+φ2[x，b0]}\u2064\u2064
其中，j₀是模型\u2064\u2064m0θ\u2064\u2064中由公式φ1和参数a₀定义的.我们有，\u2064\u2064m01∈M1;\u2064\u2064类似(5.2.2)，\u2064\u2064m11={x∈m01|m01|≡φ2[x，b0]}，\u2064\u2064是模型\u2064\u2064m01\u2064\u2064中参数定义的类：在m01\u2064\u2064看来，\u2064\u2064j01={x∈m01|m01|=φ1[x，a0]}\u2064\u2064是从自身到\u2064\u2064m12\u2064\u2064的初等嵌入，即m01=ψ[a0，b0];\u2064\u2064并且j₀(a₀)=a.j₀(b₀)=b，从而\u2064\u2064j01(j01)=j11.\u2064\u2064
定理5.2.11(主定理)假设存在一个不可达基数k
令M=CCSMNR(ZFC+\u2064\u2064Con(ZFC))是\u2064\u2064VK\u2064\u2064中所有可数的可计算饱和的ZFC+Con(ZFC)模型组成的集合
则M.M={CCSMN(ZFC)|N∈M}.\u2064\u2064
是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理
证明首先，由于k是不可达基数，那么Vn是ZFC的模型，由向下的Löwenheim-Skolem定理，存在一个ZFC的可数模型(ω.R).显然，该模型也在₆\u2064\u2064
V₆\u2064\u2064中，因此，Vₓ也是ZFC+Con(ZFC)的模型，类似地，我们可以迭代任意有穷次，如ₙ\u2064\u2064
Vₙ=ZFC+Con(ZFC+Con(ZFC)).\u2064\u2064
又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112])，∥非空
对任意N∈，∥，N是ZFC+Con(ZFC)的模型
由定理\u2064\u20645.2.5，CCSMN(ZFC)\u2064\u2064的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在N看来\u2064\u2064CCSMN(ZFC)\u2064\u2064中的模型都是非良基的，由引理5.2.10，从外面看，\u2064\u2064CCSMN(ZFC)\u2064\u2064也确实是复宇宙
现在我们只需要证明存在一个.M.M中的一个复宇宙，而N是其中的一个元素
对任意\u2064\u2064N∈M，Vn=ΓN=ZFC+Th(N)T.\u2064\u2064因而，TN=ZFC+{Con(ZFC+\u2064\u2064Γ)|Γ是Th(N)的有穷子集}是一致的
由之前的分析，Vn|=Con(TN).\u2064\u2064
在Vₐ中应用引理5.2.8，存在M∈
M，在M看来N是一个可数的可计算饱和的ZFC模型，即N是复宇宙\u2064\u2064CCSMM(ZFC)\u2064\u2064中的元素
从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到，ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系
虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数
但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理，更进一步，我们可以期望有任意n阶甚至o阶的复宇宙公理，它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构
事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙之间的关系，与哥德尔的“之集合”(setof)运算的直观都非常接近
复宇宙是集合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合.而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复字宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙，无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与ZFC中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的
如果，我们仅把ZFC所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合.不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象
至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质.某个大基数公理说“性质P°不足以描述宇宙之大”，这本身是描述宇宙之大的性质，我们称作P¹，而更大的大基数又说“P¹不足以描述宇宙之大”
如此不断扩展.同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象.即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙，把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要.重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合
换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾；如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和w之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样
因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙
正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性
哥德尔在[19]的脚注18中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达
类似地，“集合的性质”(集合论的第二个主要术语)的概念给出关于它的公理的扩展，更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入，由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知)
即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集合论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙
我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的，这种期望似乎是无矛盾的，事实上，如果M=CCSMV(ZFC)\u2064\u2064并且V=Con(ZFC).那么M∪UM=V
因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突。
总之，如果多宇宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的
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