实数Z
证明。
我们将使用几乎不相交的编码，通过五步强制来产生实z。
对于这种强迫的介绍，参见例如[3]的调查或[38]，其中给出了类似的论点。
我们在地面模型上进行强制
Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)
Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)是Mₓ的一个可定义集，因为根据表述2中的性质(4)我们得到
M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)∈Mₓ
根据引理3.23，对M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)及其图像的最小测度进行ωⱽ₁次迭代，并在ωⱽ₁处截断，得到下半模型Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)
这意味着，特别是cf（γ）ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ˣ，ᴷᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ⁾≥ω₁ᴹˣ
唱。
步骤1：为地面模型写入V₀＝Lp²ⁿ⁻¹（x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ）我们从一个预备强迫开始，它将ω₁ᴹˣ以下的一切坍缩为ω，之后我们将γ坍缩为ω₁ᴹˣ。
所以设G₀∈V为Col(ω，＜ω₁ᴹˣ)-一般除以
V₀，设V'₀＝V₀[G₀]
此外，设G'₀∈V为Col(ω₁ᴹˣ，γ)-泛型V'₀，设V₁＝V'₀[G'₀]
所以我们有ω₁ᴹˣ＝ω₁ⱽ¹通过我们选择的γ，也就是cf(γ)ⱽ⁰≥ω₁ᴹˣ，我们还有(γ⁺)ᴹˣ＝(γ⁺)ᴷᴹˣ
＝ω₂ⱽ¹
我们写ω₁＝ω₁ⱽ¹ω₂＝ω₂ⱽ¹
进一步，设A'是编码G₀和G'₀，的序数集合，这样，如果我们令A⊂(γ⁺)ᴹˣ
x⨁（Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ)⨁A'，
然后我们有G₀，G'₀∈Lp²ⁿ⁻¹(A)和Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(A)
事实上，我们可以选择集合A使V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)通过下面的论证：回想一下
Lp²ⁿ⁻¹(A)＝M(A)│ω₁ⱽ，
其中，M(A)表示Iω₁ⱽ，式中M#₂ₙ₋₁(A)对集合A的最小测度及其像的迭代。
然后我们可以认为G₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)上是泛型的，而G'₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀]，上是泛型的，其中M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)表示ω₁ⱽM#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ的最小测度及其像的迭代。
由于步骤1中的两种强迫都发生在（γ⁺）ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下，
因此证明中有定理2.25M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀][G'₀]＝M(A)对于集合A⊂(γ⁺)ᴹˣ
编码x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ，G₀和G'₀，因此我们得到V₁＝M(A)│ω₁ⱽ对于这个集合A，如所期望的那样。
步骤2：在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ¹，的几乎不相交的子集执行第一次编码之前，我们必须“重塑”(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹和ω₁之间的间隔，以确保我们将在步骤3中执行的编码存在。
此外，我们必须确保重塑强迫“本身不会使ω₁和(γ⁺)ᴹˣ崩溃。
我们将通过证明重塑强迫是＜(γ⁺)ᴹˣ-分布来证明这一点。
我们将使用以下重塑的概念。
定义3.28。
设n为基数，设X⊂η⁺，我们设函数f为(X，η⁺)-对某些f：α→2以及对所有α≤η⁺且ξ≤α的函数ξ＜η⁺进行重塑，我们有
(i)L[x∩ξ，f⨡ξ]⊨|ξ|≤η，or
(ii)有一个模型N和一个Σₖ-elementary嵌入
j：N→Lp²ⁿ⁻¹(X)│η⁺⁺对于足够大的k＜ω，使得
(a)crit(j)＝ξ，j(ξ)＝η⁺，
(b)ρₖ₊₁(N)≤ξ，N为大于ξ的声音，并且
(c)明确地在N上存在一个抛射g：η→ξ
为了将来的目的，请注意，如果N如上面第
(ii)款所示，则N◅Lp²ⁿ⁻¹(X∩ξ)
现在我们用P₁表示为(A，(γ⁺)ᴹˣ-添加(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹，重塑函数的力，在我们的新地面模型V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)中定义。
我们设p∈P₁，如果p是一个(A，(γ⁺)ᴹˣ)整形函数，且dom(p)＜(γ⁺)ᴹˣ，我们在P₁中通过反向包含对两个条件p和q排序，这意味着我们设p≤p₁qiffq⊆p
首先注意到强制P₁是可扩展的，这意味着对于每一个序数α＜(γ⁺)ᴹˣ，集合Dα＝{p∈P₁│dom(p)≥α}在P₁.中是开放和密集的。
事实上，对于每一个p∈P₁和每一个α＜(γ⁺)ᴹˣ，存在一些q≤ᴘ₁，p使得dom(q)≥α和L[A∩ξ，q⨡ξ]⊨|ξ|≤η对于所有的ξ，dom(p)
＜ξ≤dom(q)
现在我们要证明P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ-distributive。
为此，我们固定了一个条件p∈P₁和开密集集
(Dᵦ│β＜ω₁）
我们的目标是找到一个条件q≤ᴘ₁，p使得q∈Dᵦ对所有β＜ω₁
考虑，对于一个足够大的固定自然数k，模型Lp²ⁿ⁻¹(A)＝V₁.的可传递Σₖ-初等子结构更准确地说，我们想要选择一个连续序列
(Nα，πα，ξα│α≤ω₁)
传递模型的大小为|ω₁ⱽ¹|的Nα以及Σₖ-elementary初等嵌入
πα：Nα→Lp²ⁿ⁻¹(A)
以及一个序数ξα的递增序列，使得我们有p∈N₀，并且对于所有α≤ω₁
(1)crit(πα)＝ξαwithπα(ξα)＝(γ⁺)ᴹˣ，
(2)对于所有序数α＜ω₁，我们有ρₖ₊₁(Nα)≤ξα且Nα在ξα之上，和
(3){p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}⊂ran(πα)
对于所有α≤ω₁，Nαsw，我们可以归纳出如下性质的Nα和πα。
设M₀为的(未坍缩)Σₖ-hull属于
γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}
在Lp²ⁿ⁻¹(A)内
然后让N₀成为M₀的Mostowski崩溃，让
π₀：N₀→M₀≺Σₖ，Lp²ⁿ⁻¹(A)
为临界点为ξ₀.的Mostowski坍缩的逆嵌入。
现在假设我们已经为一些α＜ω₁构造了
(Nα，πα，ξα)和Mα。
然后设Mα₊₁为（未坍塌的）Σₖ-hull属于
γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}∪Mα∪{Mα}
在Lp²ⁿ⁻¹(A)内.进一步设Nα₊₁为Mα₊₁的Mostowski塌缩，允许
πα₊₁：Nα₊₁→Mα₊₁≺ΣₖLp²ⁿ⁻¹(A)是由临界点为ξα₊₁.的Mostowski坍缩得到的嵌入的逆。
注意我们有ξα₊₁＞ξα
此外，如果我们假设(Nα，πα，ξα)已经为所有的α＜λλ≤ω₁，构造了，那么我们让
Mλ＝∪Mα，
α＜λ
设Nλ为Mλ的Mostowski坍缩，并具有逆坍缩嵌入的
πλ：Nλ→Mλ，
临界点临界(πλ)＝ξλ
回想一下，我们固定了开密集集(Dᵦ│β＜ω₁)我们现在要构造一个条件序列(Pα│α≤ω₁)使得所有α＜ω₁.的Pα₊₁≤P₁Pα和Pα₊₁∈Dα
而且，我们要构造这些条件使我们归纳地保持pα∈πα⁻¹(P₁)⊂Nα
我们从p₀＝p∈N₀开始
对于后续步骤，假设我们已经定义了pα∈πα⁻¹(P₁)⊂Nα对于某个α＜ω₁。
然后我们有dom(pα)＜ξα
(ξα│α＜λ)的临界点序列(πα│α＜λ)在Nλ上是可denable的，因为对于α＜λ，模型Nα等于Nλ的Σₖ-elementary子模型的可传递坍缩，该子模型在Nλ内部构造与在上面的Lp²ⁿ⁻¹(A)内部构造完全相同。
因此，我们有这个cfᴺλ(ξλ)≤λ≤ω₁＝ω₁ⱽ¹这意味着Nλ⊨|ξλ|≤ω₁ⱽ¹.由于dom(pλ)＝ξλ，这让我们知道pλ实际上是强制P₁的一个条件。现在考虑函数q＝pω₁
然后q∈P₁和q∈Dᵦ对于所有β＜ω₁
我们已经证明了重塑力P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ分布的，因此不会坍塌ω₁和(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂
设G₁为一般的p₁V₁设V₂＝V₁[G₁]
强迫P₁的可拓性使得∪G₁是一个具有(γ⁺)ᴹˣ定义域的(A，(γ⁺)ᴹˣ)-整形函数。
设B'是编码函数UG₁的(γ⁺)ᴹˣ的子集，例如，以UG₁为特征函数的(γ⁺)ᴹˣ的子集。
最后，设B⊂(γ⁺)ᴹˣ为A⨁B'的编码。
在第1步结束时，我们可以选择代码B⊂(γ⁺)ᴹˣ，使模型V₂的形式为Lp²ⁿ⁻¹(B)，通过以下参数
Lp²ⁿ⁻¹(B)＝M(B)│ω₁ⱽ，
其中，M(B)表示M#₂ₙ₋₁(B)的最小测度及其图像的ω₁ⱽ次迭代。
因此，我们可以认为G₁是M(A)上的泛型。这产生了在第1步结束时的论证，我们可以选择B，使V₂＝M(B)│ω₁ⱽ，因为“重塑强迫”P₁发生在(γ⁺)ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下
因此，我们得到了它
V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)
步骤3：现在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ²＝ω₁ⱽ¹的几乎不相交的子集来执行第一个编码。
由于B是“重塑的”，我们可以归纳地构造一个ω₁的几乎不相交子集序列，
（Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)，
如下。
设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ使得我们已经构造了一个ω₁的几乎不相交子集的序列(Aς│ς＜ξ)
案例1。L[B∩ξ]⊨|ξ|≤ω₁ⱽ²
那么我们让Aξ是ω₁的最小子集₁在L[B∩ξ]中，它也与任何Aς最不相交对于ς＜ξ并且满足
|ω₁\\∪Aξ|＝ℵ₁
ς≤ξ
情况2，否则。
设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射g：ω₁ⱽ²↠ξ，现在设Aξ是ω₁ⱽ²的最小子集，它在N上可定义，对于ς＜ξ几乎与任何Aς不相交，并且满足
|ω₁\\∪ς≤ξAς|＝ℵ₁
在这种情况下，集合Aξ是定义良好的，这是由于集合B⊂(γ⁺)ᴹˣ被下面的自变量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情况2中，即存在定义3.28(ii)中的模型N。我们有N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).一般来说，不一定是这样Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)等于Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)(见引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基数，因此实际上N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B).因此，在ξ处见证B“重塑”的任何N都是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)使得集合Aξ确实是定义明确的。
序列(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)现在可在V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)中定义
现在设P₂是由几乎不相交集(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)的ω₁的子集对编码B的强迫，这意味着p∈P₂是一个对(pι，pᵣ)，使得对于某些α＜ω₁，pι：α→2，并且pᵣ是(γ⁺)ᴹˣ的可数子集
我们说p＝(pι，Pᵣ)使得pι：α→2对于某些α＜ω₁和pᵣ是（γ⁺)ᴹˣ.我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₂（qι，qᵣ)＝qiffqι⊆pι，qᵣ⊆pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈B，那么
{β∈dom(pι)\\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝∅
一个简单的论点表明(γ⁺)ᴹˣ-c.c.对于强迫P₂成立.更重要的是，它是ω-闭的，因此没有基数塌陷。设G₂是P₂-V和let上的泛型
C'＝∪{β∈dom(pι)│pι(β)＝1}
p∈G₂
那么C'⊂ω₁对于所有ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，
ξ∈Biff|C'∩Aξ|≤ℵ₀
最后，设V₃＝V₂[G₂].通过与我们在第2步结束时给出的论点相同的论点，我们可以得出
V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C)
对于某些集合C⊂ω₁编码C′和实数x，由于模型Lp²ⁿ⁻¹(C)可以通过以下参数成功地完全解码集合B⊂(γ⁺)ᴹˣ我们归纳地证明了对于每一ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，(Aς│ς＜ξ)∈LP²ⁿ⁻¹(C)和B∩ξ∈LP²ⁿ⁻¹(C).得到B∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
对于归纳步骤，设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ为序数，并假设归纳得到
(Aς│ς＜ξ)∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
因为对于所有ς＜ξ，
ς∈Biff|C'∩Aξ|≤ℵ₀，
我们有B∩ξ∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
在情况1中，即，如果L[B∩ξ]⊨|ξ|≤ω₁ⱽ²，则可以容易地在LP²ⁿ⁻¹(C)内识别集合Aξ。在情况2中，设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射，g：ω₁↠ξ.这样一个N的存在是由于B被“重塑”的事实：甚至存在一些N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)，使得ρω(N)≤ξ，
N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射g：ω₁↠ξ；和Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)⊆Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).因此，存在具有这些性质的Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段N，并且它也将是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的初始段，并且N也将是用于识别Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的Lp²ⁿ⁻¹(B)(对于上述B)的初始段。用于鉴定Aξ.我们已经证明，在每种情况下，Aξ都可以在内部识别，Lp²ⁿ⁻¹(C)
由于下一个Aξ的识别是按照统一的程序进行的，我们实际上得到了这一点
(Aς│ς≤ξ)∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
步骤4：在我们可以“codedowntoareal”之前，这意味着我们可以找到一个实数z，使得Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(z)，我们必须执行另一个类似于步骤2的“整形”。所以让P₃是加一个（C，ω₁)-在V₃中工作的整形函数作为新的地面模型，其中ω₁=ω₁ⱽ³=ω₁ⱽ².这意味着我们设p∈P₃当p是(C，ω₁)-dom(p)＜ω₁的整形函数.P₃中两个条件p和q的阶再次通过反向包含，意味着p≤ᴘ₃qiffq⊆p
强制P₃是可扩展的，并且＜ω₁-是由与我们在步骤2中给出的参数相同的参数分配的，因为我们有V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C).因此，P₃不塌陷ω₁
设G₃是P₃-V₃上的泛型并设V₄＝V₃[G₃].我们又得到了一个∪G₃是(C，ω₁)-具有域ω₁的整形函数因为P₃是可扩展的。设D'是ω₁的子集哪一个编码∪G₃，例如ω₁的子集哪一个bos∪G₃作为其特征功能。最后，ietD⊂ω₁代码C⨁D'
通过与我们在步骤2结束时给出的相同的论证，我们实际上可以得到
V₄＝Lp²ⁿ⁻¹(D)
步骤5：现在我们准备好最后“编码到实数”。由于D是“重新成形的”，我们可以考虑一个统一定义的序列
(Bξ│ξ＜ω₁)
ω的几乎不相交的子集，如步骤3，其中ω₁＝ω₁ⱽ⁴＝ω₁ⱽ³
现在我们让P₄是ω的子集使用几乎不相交集对D进行编码的强制（Bξ│ξ＜ω₁).这意味着一个条件p∈p₄是一对（pι，pᵣ)使得pι：α→2对于某些α＜ω和pᵣ是ω₁的有限子集.我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₄（qι，qᵣ)＝qiffqι⊆pι，qᵣ⊆pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈D，那么
{β∈dom(pι)\\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Bξ＝∅.正如在上面的步骤3中一样，一个简单的论点表明，强迫P₄拥有c.c.c.，因此没有枢机主教崩溃。最后，设G₄是P₄-V₄上的泛型然后让
E'＝∪{β∈dom(pι)│pι(β)＝1}
p∈G₄
那么E'⊂ω，我们对所有ξ＜ω₁都有，
ξ∈Diff│E'∩Bξ│＜ℵ₀
设V₅＝V₄[G₄]最后，设z是实数编码E’和实数x.类似于步骤3末尾给出的自变量，我们可以选择实数z≥ᴛx这样我们就有
V₅＝Lp²ⁿ⁻¹(z)
和型号Lp²ⁿ⁻¹(z)能够成功地解码集合D，从而也解码集合A
这最终得出我们有一个实z≥ᴛx使得
(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ᶻ⁾
和
Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(z)
我们将使用几乎不相交的编码，通过五步强制来产生实z。
对于这种强迫的介绍，参见例如[3]的调查或[38]，其中给出了类似的论点。
我们在地面模型上进行强制
Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)
Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)是Mₓ的一个可定义集，因为根据表述2中的性质(4)我们得到
M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)∈Mₓ
根据引理3.23，对M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)及其图像的最小测度进行ωⱽ₁次迭代，并在ωⱽ₁处截断，得到下半模型Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)
这意味着，特别是cf（γ）ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ˣ，ᴷᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ⁾≥ω₁ᴹˣ
唱。
步骤1：为地面模型写入V₀＝Lp²ⁿ⁻¹（x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ）我们从一个预备强迫开始，它将ω₁ᴹˣ以下的一切坍缩为ω，之后我们将γ坍缩为ω₁ᴹˣ。
所以设G₀∈V为Col(ω，＜ω₁ᴹˣ)-一般除以
V₀，设V'₀＝V₀[G₀]
此外，设G'₀∈V为Col(ω₁ᴹˣ，γ)-泛型V'₀，设V₁＝V'₀[G'₀]
所以我们有ω₁ᴹˣ＝ω₁ⱽ¹通过我们选择的γ，也就是cf(γ)ⱽ⁰≥ω₁ᴹˣ，我们还有(γ⁺)ᴹˣ＝(γ⁺)ᴷᴹˣ
＝ω₂ⱽ¹
我们写ω₁＝ω₁ⱽ¹ω₂＝ω₂ⱽ¹
进一步，设A'是编码G₀和G'₀，的序数集合，这样，如果我们令A⊂(γ⁺)ᴹˣ
x⨁（Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ)⨁A'，
然后我们有G₀，G'₀∈Lp²ⁿ⁻¹(A)和Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(A)
事实上，我们可以选择集合A使V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)通过下面的论证：回想一下
Lp²ⁿ⁻¹(A)＝M(A)│ω₁ⱽ，
其中，M(A)表示Iω₁ⱽ，式中M#₂ₙ₋₁(A)对集合A的最小测度及其像的迭代。
然后我们可以认为G₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)上是泛型的，而G'₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀]，上是泛型的，其中M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)表示ω₁ⱽM#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ的最小测度及其像的迭代。
由于步骤1中的两种强迫都发生在（γ⁺）ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下，
因此证明中有定理2.25M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀][G'₀]＝M(A)对于集合A⊂(γ⁺)ᴹˣ
编码x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ，G₀和G'₀，因此我们得到V₁＝M(A)│ω₁ⱽ对于这个集合A，如所期望的那样。
步骤2：在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ¹，的几乎不相交的子集执行第一次编码之前，我们必须“重塑”(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹和ω₁之间的间隔，以确保我们将在步骤3中执行的编码存在。
此外，我们必须确保重塑强迫“本身不会使ω₁和(γ⁺)ᴹˣ崩溃。
我们将通过证明重塑强迫是＜(γ⁺)ᴹˣ-分布来证明这一点。
我们将使用以下重塑的概念。
定义3.28。
设n为基数，设X⊂η⁺，我们设函数f为(X，η⁺)-对某些f：α→2以及对所有α≤η⁺且ξ≤α的函数ξ＜η⁺进行重塑，我们有
(i)L[x∩ξ，f⨡ξ]⊨|ξ|≤η，or
(ii)有一个模型N和一个Σₖ-elementary嵌入
j：N→Lp²ⁿ⁻¹(X)│η⁺⁺对于足够大的k＜ω，使得
(a)crit(j)＝ξ，j(ξ)＝η⁺，
(b)ρₖ₊₁(N)≤ξ，N为大于ξ的声音，并且
(c)明确地在N上存在一个抛射g：η→ξ
为了将来的目的，请注意，如果N如上面第
(ii)款所示，则N◅Lp²ⁿ⁻¹(X∩ξ)
现在我们用P₁表示为(A，(γ⁺)ᴹˣ-添加(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹，重塑函数的力，在我们的新地面模型V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)中定义。
我们设p∈P₁，如果p是一个(A，(γ⁺)ᴹˣ)整形函数，且dom(p)＜(γ⁺)ᴹˣ，我们在P₁中通过反向包含对两个条件p和q排序，这意味着我们设p≤p₁qiffq⊆p
首先注意到强制P₁是可扩展的，这意味着对于每一个序数α＜(γ⁺)ᴹˣ，集合Dα＝{p∈P₁│dom(p)≥α}在P₁.中是开放和密集的。
事实上，对于每一个p∈P₁和每一个α＜(γ⁺)ᴹˣ，存在一些q≤ᴘ₁，p使得dom(q)≥α和L[A∩ξ，q⨡ξ]⊨|ξ|≤η对于所有的ξ，dom(p)
＜ξ≤dom(q)
现在我们要证明P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ-distributive。
为此，我们固定了一个条件p∈P₁和开密集集
(Dᵦ│β＜ω₁）
我们的目标是找到一个条件q≤ᴘ₁，p使得q∈Dᵦ对所有β＜ω₁
考虑，对于一个足够大的固定自然数k，模型Lp²ⁿ⁻¹(A)＝V₁.的可传递Σₖ-初等子结构更准确地说，我们想要选择一个连续序列
(Nα，πα，ξα│α≤ω₁)
传递模型的大小为|ω₁ⱽ¹|的Nα以及Σₖ-elementary初等嵌入
πα：Nα→Lp²ⁿ⁻¹(A)
以及一个序数ξα的递增序列，使得我们有p∈N₀，并且对于所有α≤ω₁
(1)crit(πα)＝ξαwithπα(ξα)＝(γ⁺)ᴹˣ，
(2)对于所有序数α＜ω₁，我们有ρₖ₊₁(Nα)≤ξα且Nα在ξα之上，和
(3){p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}⊂ran(πα)
对于所有α≤ω₁，Nαsw，我们可以归纳出如下性质的Nα和πα。
设M₀为的(未坍缩)Σₖ-hull属于
γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}
在Lp²ⁿ⁻¹(A)内
然后让N₀成为M₀的Mostowski崩溃，让
π₀：N₀→M₀≺Σₖ，Lp²ⁿ⁻¹(A)
为临界点为ξ₀.的Mostowski坍缩的逆嵌入。
现在假设我们已经为一些α＜ω₁构造了
(Nα，πα，ξα)和Mα。
然后设Mα₊₁为（未坍塌的）Σₖ-hull属于
γ∪{p}∪{Dᵦ│β＜ω₁}∪Mα∪{Mα}
在Lp²ⁿ⁻¹(A)内.进一步设Nα₊₁为Mα₊₁的Mostowski塌缩，允许
πα₊₁：Nα₊₁→Mα₊₁≺ΣₖLp²ⁿ⁻¹(A)是由临界点为ξα₊₁.的Mostowski坍缩得到的嵌入的逆。
注意我们有ξα₊₁＞ξα
此外，如果我们假设(Nα，πα，ξα)已经为所有的α＜λλ≤ω₁，构造了，那么我们让
Mλ＝∪Mα，
α＜λ
设Nλ为Mλ的Mostowski坍缩，并具有逆坍缩嵌入的
πλ：Nλ→Mλ，
临界点临界(πλ)＝ξλ
回想一下，我们固定了开密集集(Dᵦ│β＜ω₁)我们现在要构造一个条件序列(Pα│α≤ω₁)使得所有α＜ω₁.的Pα₊₁≤P₁Pα和Pα₊₁∈Dα
而且，我们要构造这些条件使我们归纳地保持pα∈πα⁻¹(P₁)⊂Nα
我们从p₀＝p∈N₀开始
对于后续步骤，假设我们已经定义了pα∈πα⁻¹(P₁)⊂Nα对于某个α＜ω₁。
然后我们有dom(pα)＜ξα
(ξα│α＜λ)的临界点序列(πα│α＜λ)在Nλ上是可denable的，因为对于α＜λ，模型Nα等于Nλ的Σₖ-elementary子模型的可传递坍缩，该子模型在Nλ内部构造与在上面的Lp²ⁿ⁻¹(A)内部构造完全相同。
因此，我们有这个cfᴺλ(ξλ)≤λ≤ω₁＝ω₁ⱽ¹这意味着Nλ⊨|ξλ|≤ω₁ⱽ¹.由于dom(pλ)＝ξλ，这让我们知道pλ实际上是强制P₁的一个条件。现在考虑函数q＝pω₁
然后q∈P₁和q∈Dᵦ对于所有β＜ω₁
我们已经证明了重塑力P₁是＜(γ⁺)ᴹˣ分布的，因此不会坍塌ω₁和(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂
设G₁为一般的p₁V₁设V₂＝V₁[G₁]
强迫P₁的可拓性使得∪G₁是一个具有(γ⁺)ᴹˣ定义域的(A，(γ⁺)ᴹˣ)-整形函数。
设B'是编码函数UG₁的(γ⁺)ᴹˣ的子集，例如，以UG₁为特征函数的(γ⁺)ᴹˣ的子集。
最后，设B⊂(γ⁺)ᴹˣ为A⨁B'的编码。
在第1步结束时，我们可以选择代码B⊂(γ⁺)ᴹˣ，使模型V₂的形式为Lp²ⁿ⁻¹(B)，通过以下参数
Lp²ⁿ⁻¹(B)＝M(B)│ω₁ⱽ，
其中，M(B)表示M#₂ₙ₋₁(B)的最小测度及其图像的ω₁ⱽ次迭代。
因此，我们可以认为G₁是M(A)上的泛型。这产生了在第1步结束时的论证，我们可以选择B，使V₂＝M(B)│ω₁ⱽ，因为“重塑强迫”P₁发生在(γ⁺)ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下
因此，我们得到了它
V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)
步骤3：现在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ²＝ω₁ⱽ¹的几乎不相交的子集来执行第一个编码。
由于B是“重塑的”，我们可以归纳地构造一个ω₁的几乎不相交子集序列，
（Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)，
如下。
设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ使得我们已经构造了一个ω₁的几乎不相交子集的序列(Aς│ς＜ξ)
案例1。L[B∩ξ]⊨|ξ|≤ω₁ⱽ²
那么我们让Aξ是ω₁的最小子集₁在L[B∩ξ]中，它也与任何Aς最不相交对于ς＜ξ并且满足
|ω₁\\∪Aξ|＝ℵ₁
ς≤ξ
情况2，否则。
设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射g：ω₁ⱽ²↠ξ，现在设Aξ是ω₁ⱽ²的最小子集，它在N上可定义，对于ς＜ξ几乎与任何Aς不相交，并且满足
|ω₁\\∪ς≤ξAς|＝ℵ₁
在这种情况下，集合Aξ是定义良好的，这是由于集合B⊂(γ⁺)ᴹˣ被下面的自变量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情况2中，即存在定义3.28(ii)中的模型N。我们有N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).一般来说，不一定是这样Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)等于Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)(见引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基数，因此实际上N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B).因此，在ξ处见证B“重塑”的任何N都是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)使得集合Aξ确实是定义明确的。
序列(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)现在可在V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)中定义
现在设P₂是由几乎不相交集(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)的ω₁的子集对编码B的强迫，这意味着p∈P₂是一个对(pι，pᵣ)，使得对于某些α＜ω₁，pι：α→2，并且pᵣ是(γ⁺)ᴹˣ的可数子集
我们说p＝(pι，Pᵣ)使得pι：α→2对于某些α＜ω₁和pᵣ是（γ⁺)ᴹˣ.我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₂（qι，qᵣ)＝qiffqι⊆pι，qᵣ⊆pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈B，那么
{β∈dom(pι)\\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝∅
一个简单的论点表明(γ⁺)ᴹˣ-c.c.对于强迫P₂成立.更重要的是，它是ω-闭的，因此没有基数塌陷。设G₂是P₂-V和let上的泛型
C'＝∪{β∈dom(pι)│pι(β)＝1}
p∈G₂
那么C'⊂ω₁对于所有ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，
ξ∈Biff|C'∩Aξ|≤ℵ₀
最后，设V₃＝V₂[G₂].通过与我们在第2步结束时给出的论点相同的论点，我们可以得出
V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C)
对于某些集合C⊂ω₁编码C′和实数x，由于模型Lp²ⁿ⁻¹(C)可以通过以下参数成功地完全解码集合B⊂(γ⁺)ᴹˣ我们归纳地证明了对于每一ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，(Aς│ς＜ξ)∈LP²ⁿ⁻¹(C)和B∩ξ∈LP²ⁿ⁻¹(C).得到B∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
对于归纳步骤，设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ为序数，并假设归纳得到
(Aς│ς＜ξ)∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
因为对于所有ς＜ξ，
ς∈Biff|C'∩Aξ|≤ℵ₀，
我们有B∩ξ∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
在情况1中，即，如果L[B∩ξ]⊨|ξ|≤ω₁ⱽ²，则可以容易地在LP²ⁿ⁻¹(C)内识别集合Aξ。在情况2中，设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射，g：ω₁↠ξ.这样一个N的存在是由于B被“重塑”的事实：甚至存在一些N◅Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)，使得ρω(N)≤ξ，
N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射g：ω₁↠ξ；和Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)⊆Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).因此，存在具有这些性质的Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段N，并且它也将是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的初始段，并且N也将是用于识别Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)的Lp²ⁿ⁻¹(B)(对于上述B)的初始段。用于鉴定Aξ.我们已经证明，在每种情况下，Aξ都可以在内部识别，Lp²ⁿ⁻¹(C)
由于下一个Aξ的识别是按照统一的程序进行的，我们实际上得到了这一点
(Aς│ς≤ξ)∈Lp²ⁿ⁻¹(C)
步骤4：在我们可以“codedowntoareal”之前，这意味着我们可以找到一个实数z，使得Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(z)，我们必须执行另一个类似于步骤2的“整形”。所以让P₃是加一个（C，ω₁)-在V₃中工作的整形函数作为新的地面模型，其中ω₁=ω₁ⱽ³=ω₁ⱽ².这意味着我们设p∈P₃当p是(C，ω₁)-dom(p)＜ω₁的整形函数.P₃中两个条件p和q的阶再次通过反向包含，意味着p≤ᴘ₃qiffq⊆p
强制P₃是可扩展的，并且＜ω₁-是由与我们在步骤2中给出的参数相同的参数分配的，因为我们有V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C).因此，P₃不塌陷ω₁
设G₃是P₃-V₃上的泛型并设V₄＝V₃[G₃].我们又得到了一个∪G₃是(C，ω₁)-具有域ω₁的整形函数因为P₃是可扩展的。设D'是ω₁的子集哪一个编码∪G₃，例如ω₁的子集哪一个bos∪G₃作为其特征功能。最后，ietD⊂ω₁代码C⨁D'
通过与我们在步骤2结束时给出的相同的论证，我们实际上可以得到
V₄＝Lp²ⁿ⁻¹(D)
步骤5：现在我们准备好最后“编码到实数”。由于D是“重新成形的”，我们可以考虑一个统一定义的序列
(Bξ│ξ＜ω₁)
ω的几乎不相交的子集，如步骤3，其中ω₁＝ω₁ⱽ⁴＝ω₁ⱽ³
现在我们让P₄是ω的子集使用几乎不相交集对D进行编码的强制（Bξ│ξ＜ω₁).这意味着一个条件p∈p₄是一对（pι，pᵣ)使得pι：α→2对于某些α＜ω和pᵣ是ω₁的有限子集.我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₄（qι，qᵣ)＝qiffqι⊆pι，qᵣ⊆pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈D，那么
{β∈dom(pι)\\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Bξ＝∅.正如在上面的步骤3中一样，一个简单的论点表明，强迫P₄拥有c.c.c.，因此没有枢机主教崩溃。最后，设G₄是P₄-V₄上的泛型然后让
E'＝∪{β∈dom(pι)│pι(β)＝1}
p∈G₄
那么E'⊂ω，我们对所有ξ＜ω₁都有，
ξ∈Diff│E'∩Bξ│＜ℵ₀
设V₅＝V₄[G₄]最后，设z是实数编码E’和实数x.类似于步骤3末尾给出的自变量，我们可以选择实数z≥ᴛx这样我们就有
V₅＝Lp²ⁿ⁻¹(z)
和型号Lp²ⁿ⁻¹(z)能够成功地解码集合D，从而也解码集合A
这最终得出我们有一个实z≥ᴛx使得
(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ᶻ⁾
和
Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ∈Lp²ⁿ⁻¹(z)
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