玄宇宙计划（1）
西·大卫·弗里德曼
维也纳大学库尔特·哥德尔研究中心
我讨论了集合论中真理的三个潜在证据来源，来自确定理论作为数学分支和数学基础的作用以及集合概念的内在极大性特征。我预测新的非一阶公理将会被发现，并且有所有三个公理的证据类型，并且这些公理将产生显着的一阶后果，这将被视为集合论的真实陈述。论文的大部分内容涉及超宇宙计划，其目的是发现一个最佳的数学表达集合论宇宙的高度和最大值的原理宽度。
1简介
ZFC公理的真实性被普遍接受至少有两个原因。
其中一个原因是基础性的，因为它们赋予集合论作为一种理论的能力。
整个数学的基础非常好，另一个是内在的，因为（除了AC可能的例外，选择公理）它们可以被视为可以从最大迭代概念所体现的集合概念推导出来。
事实上，比ZFC多一点点在本质上甚至是基础上都是合理的。我这里指的是反射原理及其相关的小大基数，也可以通过最大迭代概念推导出来高度（序数）最大值，并且至少在不可访问基数的情况下，是有时对于某些类型的高度抽象数学（例如格罗腾迪克宇宙）的发展很有用。ZFC的这些扩展在以下方面是温和的：
感觉它们与幂集极小性原理V=L兼容。
但找到与V=L相矛盾的公理真实性的有力证据已经非常困难。有许多的原因。其一是卷。\\j卷号\\j编号\\jyearIFCoLog逻辑杂志及其应用
弗里德曼
事实上，ZFC的温和扩展在某种意义上来说太好了，因为它们单独，直到最近已经足以满足集合论作为基础的需要
对于数学。另一个是从最大的压力中榨取更多的困难。
通过高度的宽度（幂集）最大值模拟的迭代概念引发反思的最大化原则。以及集合论的发展，作为数学的一个分支，它是如此引人注目、多样化和不断变化，以至于不可能选择那些对这个主题的观点
新公理堪称“最真”。
我写这篇文章的目的是为以下三个预测提供证据。
集合论实践的丰富性。集合论作为一个分支的发展，数学知识如此丰富，以至于对于哪一个一阶数学永远不会达成共识
公理（除了ZFC加上小大基数）最适合这种发展。
基本需求。正如AC现在因其在数学实践中的重要作用而被接受一样，对数学独立性结果的系统研究将发现与CH相矛盾的一阶语句（因此也V=L），其中最适合解决这种独立性问题。
最优极大性准则。通过超宇宙计划，它将有可能得出表达最大值的最优非一阶公理
集合论宇宙的高度和宽度；该公理将具有一阶结果与CH相矛盾（因此V=L）。
作为这三个预测的综合，我提出以下乐观的预测
集合论真理研究取得进展的情景。
集合论真理论文。将存在集合论的一阶陈述很好地满足了集合论实践和解决跨领域独立性的需求
数学，可导1
从集合论的极大值
宇宙的高度和宽度。此类陈述将被视为真实
集合论的陈述。
本论文有一个反面：为了使一阶陈述与V=L被认为是正确的，在我看来，它必须很好地满足集合论实践和解决数学独立性的需要，并且它必须满足至少与所表达的集合论宇宙的极大性相容
1有关可导性概念的讨论，请参见最后的第4.12小节。
超宇宙计划
通过最优极大值准则。事实上，这种证据的强度在我看来，一个陈述的真实性是通过它满足这些条件的程度来衡量的三个要求。
该论文的一个重要后果是CH的失败。因此我的一部分预测是CH将被视为错误。
请注意，在论文中我没有提到真正的一阶公理，而只是提到真正的一阶公理一阶语句。原因是以下附加主张。
超越一阶。对于提议的真实性永远不会达成共识与V=L相矛盾的一阶公理；相反，真正的一阶语句将仅作为真正的非一阶公理的结果而出现。
这种说法的一个原因是一阶语句不足以捕获集合论宇宙的极大性。
本文的计划如下。首先，我将回顾一些流行的一阶公理，它们很好地满足了集合论实践的需要，并论证了上面的丰富度预测。其次，我将讨论关于数学独立性的鲜为人知的知识，讨论强制公理作为证明数学独立性的证据的作用上面的基础预测。到目前为止，本文的主要目标是是第三部分，我在其中介绍了超宇宙计划，包括它的哲学基础和最新的数学发展。
2集合论实践
集合论是一门新兴学科，充满了新思想和新发展，不断带来新的视角。当然，这些观点中的某些观点是站得住脚的从众多正在被证明的新结果中脱颖而出，值得关注其中一些揭示了确定特定新公理的困难“真实的人”。
我强调需要找到与V=L相矛盾的公理的真实性的证据，但纯粹是从公理对于发展好的集合论，我将其称为第一类证据，这是不可能的。詹森的深入研究揭示了该公理的力量，揭示了V=L的力量，确实如此，当与小大基数结合时，似乎给我们提供了一个对于所有自然集合论陈述来说都是完整的理论！这是一项了不起的成就，很有说服力地支持基于第1类证据宣布V=L为真。
弗里德曼
对V=L的第1类自然反对意见是它没有考虑强迫，建立集合论新模型的基本方法。诚然，即使在L可以强制扩展可数模型，但强制扩展更为自然
完整的L而不仅仅是其中的一小部分。所以现在我们矛盾V=L
支持“V包含L的许多通用扩展”或类似的内容。
L的大量强制扩展听起来不错，但是我们的规范是什么
现在宇宙？难道我们不应该有一个只在V中为真的句子，而不是在其任何适当的内部模型中，同时具有许多通用的L的扩展？事实上，通过类强制这是可能的（参见[11]）。所以现在我们有一个很好的1型公理：V是一个规范宇宙，它是L上的类通用的，包含L的许多集合通用扩展。这是一个很好的上下文集合论，因为现在可以使用强制方法。
事实上我们可以做得更好，将V设为L[0#]。这个模型不仅包含L的许多通用扩展，它也是一个规范宇宙，我们恢复Jensen在V=L下开发的所有强大方法，现在相对化为真正的0#。因此，我们的1类证据引导我们得出极好的公理V=L[0#]。
异议！可测基数又如何呢？回忆一下重要的层次结构
一致性优势：自然理论是井然有序的（达到双向可解释性）
通过它们的一致性强度和大基数公理的一致性强度提供了一个很好的一致性强度集合，它在一个大的初始中是共同的，该层次结构的一部分（如果不是全部）。这并不意味着大基数必须存在，但至少应该有包含它们的内部模型。所以现在基于第一类证据，我们得到了一些版本的“存在具有大的内部模型”基数”，这是一个进行良好集合论的有吸引力的环境。
此外，请注意，如果我们有大基数的内部模型，我们就不会丢失查看L或其通用扩展的选项，它们仍然可用作内部楷模。所以我们似乎已经达到了迄今为止最好的1类公理。
但我们还可以要求更多。回想一下，L有一个很好的内部结构，对于导出V=L的结果非常有用。V不仅可以有内部模型吗
对于大红衣主教还有L型内部结构？答案当然是积极的，因为我们可以采用公理“存在具有大基数的内部模型
对于某个实数x，V=L[x]”。[14]中提供了更好的答案，其中显示了V可以与任意大基数一起呈L型，不仅在内部模型中，但在V本身。然而，尽管这听起来很有吸引力，但它未能解决一个关键问题
超宇宙计划
问题，这就是我们看到集合论的多个视角的地方，单一观点自称是“最好的”。
即使我们产生了一个很好的公理2，其形式为“有大基数和V是L的规范概括”，这样做使我们进入一个类似L的环境哪个做集合论。事实上，集合论还有其他令人信服的观点
这导致我们进入非L类环境，并相应地进入完全不同的环境类型1公理。我会提到其中两个。（有关概念的更多信息下面提到的可在[22]中找到）。
强制公理有着悠久的历史，可以追溯到马丁公理（MA），其特殊情况断言存在ccc偏序的泛型（即仅具有可数反链的偏序）超过大小为ℵ1的模型。这个简单的公理可用于一次性建立大范围的相对一致性集合论陈述。自然有人对加强MA，一种流行的公理是适当的强制公理(PFA)，它强化了这一点3
到更广泛的真偏序类。
现在关于1类证据，重点是PFA具有更引人注目的证据其后果比MA更重要，使其成为解决问题的核心和重要工具
集合论中的组合问题。可以用强有力的案例证明其真相
基于类型1证据。但当然PFA与任何公理相冲突，断言V是类似L的，因为它意味着CH的否定。事实上PFA意味着
连续体的大小为ℵ2。
1类证据的多样性不仅仅是L相似性和强制公理；还有一些基本特征。这些都是自然的且经过大量研究的研究可定义性理论和组合时出现的基数实数集的性质。这些基本特征中的每一个都是不可数的基数，其大小至多是连续体。现在考虑到各种这些特征以及它们可以始终不同于每个特征的事实，另外，采用基本特征提供的公理不是很引人注目吗？
一系列低于连续统大小的不同不可数基数
因此，连续统确实相当大，这与L相似性相矛盾
并强制公理？4
2Woodin事实上提出了这样一个公理，他称之为UltimateL。
3对于专家来说，要获得PFA，必须允许大小为ℵ1的非传递模型。
4作为一个具体示例，让a表示无限几乎不相交的子集族的最小大小
ω和b(d)从ω到ω有序的无界（主导）函数族的最小尺寸
通过最终的统治。那么b
弗里德曼
因此，我们拥有三种不同类型的公理，并且具有出色的1类证据：
与大基数、强制公理和基数特征公理的L相似性。
它们相互矛盾，但又都与内部模型的存在相一致
对于其他人。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足
确立集合论公理的真实性；也不足以决定是否或不CH为真。
3集合论作为数学基础
当然，我们可以衷心祝贺公理集合论成功地为数学提供了基础。一个压倒性的案例可以证明当定理在数学中被证明时，它们可以被视为一个定理
ZFC的轻度扩展（与V=L兼容）。特别是，我们通常期望数学问题可以用温和的方式回答（也许有很大的困难！）ZFC的扩展。
结果是，这种温和扩展的独立结果确实是整个数学的独立结果。这当然是小事
如果所讨论的独立性结果是集合论的陈述，那么重要性，如集合理论只是数学的一小部分。但这非常重要
当集合论之外的数学问题出现独立性时，如博雷尔、卡普兰斯基和怀特海测度猜想就是这种情况
理论、泛函分析和群论。让我们不要忘记
伟大数学家大卫·希尔伯特的论文认为数学问题可以使用该主题的强大工具来解决。了解如何处理
恢复数学作为完整学科的地位需要独立性
以及希尔伯特设想的明确的研究领域。
集合论学家关注这个问题的时机已经成熟。中心问题
是：
基础或类型2证据：是否存在集合论的特定公理
最能满足解决数学其他领域独立性的需求？
最近有迹象表明这个问题正在出现积极的答案，集合论在泛函分析、拓扑、抽象代数和模型论（逻辑领域，但仍在集合论之外）正在被发现。这我之前表达的基本需求正是对一种模式的预测，将从这些应用中出现，揭示集合论的特定公理
超宇宙计划
最适合使集合论更接近希尔伯特的完整基础希望。
现在这些集合论的基本优势公理在哪里？
成立？考虑以下具有良好1类证据的候选人列表：
V=L
V是L的规范且丰富的类通用扩展
大基本公理（如超紧凑公理）
强制公理，如MA、PFA
L(R)中的AD等确定性公理
基本特征公理如b
正如已经说过的，这些公理中的每一个对于集合的发展都很重要
理论，为该主题提供独特的视角。但也许令人惊讶的是
发现其中只有两个，V=L和强制公理，有任何显着的意义
对集合论之外的数学的影响！大基本公理的影响
（如超级紧凑）和基本特征公理已经是最小的，并且到目前为止，确定性公理还不存在。
为了提供更多细节，V=L和强制公理都可以用来回答
以下问题（以不同方式）：
泛函分析：必须来自C(X)、X紧凑Hausdorff的每个同态，进入另一个巴拿赫代数是连续的（卡普兰斯基问题）？是理想的
所有有界算子环中的可分离希尔伯特空间上的紧算子
两个较小理想的总和？；卡尔金代数的所有自同构都是内自同构吗？
拓扑与测度论：每个正规摩尔空间都是可度量的吗？是
有S空间（常规的、遗传性可分离的空间，其中一些开放的盖子没有可数子覆盖）？每个强测度0组实数是否可数（Borel推测）？
抽象代数：每个怀特海群都是自由的（怀特海问题）吗？什么是R(x，y，z)作为R[x，y，z]模的同调维数，其中R是实数域？无数领域的直接产物是否具有全球性维度2？
人们还可以提到模型理论领域（逻辑的一部分，但不是逻辑的一部分）
集合论），其中集合论的新公理可能在
弗里德曼
研究抽象基本类的莫利定理，甚至可能在沃特猜想的解决。
我的预测是V=L和ForcingAxioms将是明确的赢家
解决数学独立性的集合论公理的选择
作为一个整体。但由于V=L与集合论的极大值相冲突
宇宙的宽度，它不适合作为集合论命题的实现
事实证明，ForcingAxioms是当前的主要候选者。
4集合论宇宙的极大性和惠普
字母HP代表超宇宙计划，我现在在细节。
4.1集合的迭代概念
正如哥德尔所说，集合的迭代概念表达了这样的想法：集合是通过幂集的迭代应用从明确定义的对象中获得的东西手术。更详细地（遵循Boolos[7]；另请参阅[27]）：集合形成于阶段，其中仅在阶段0和任何更大的阶段形成空集，小于0，1形成早期阶段形成的集合的集合。（这样说，集合在最初形成之后的每个阶段都会重新形成，但这没关系。）
任何集合都是在其元素形成之后的某个最低阶段形成的。这概念排除异常：我们不能有x∈x，不存在所有集合的集合，不存在循环x0∈x1ε···εxnεx0并且不存在无限序列···εxnεxn−1εxn−2ε···εx1εx0，因为必须存在至少一个阶段xn之一已形成。我们假设有无限个集合5，所以迭代过程导致极限阶段ω，它不为0，也不是后继阶段。
迭代概念得出集合的宇宙是公理的模型
Zermelo集合论，即无替换且无以下公理的ZFC选择。该理论的标准模型是Vω+ω。
尽管如此，替换和AC（选择公理）作为一部分包含在内
出于非常不同的原因，集合论的标准公理。交流案例
通常是基于外在理由，引用其对发展的成果
5一旦我们将极大性添加到迭代概念中，这就是可推导的，但很方便
假设已经作为迭代概念的一部分。
超宇宙计划
数学的基础及其相应的集合论作为基础的必要性
数学（我称之为第二类证据的一个例子）。我不清楚
选择源自迭代概念，也源自其必要性
做得很好集合论（第一类证据）。
另一方面，替换可以从集合的概念中推导出来。查看
为此，我们需要将迭代概念扩展到更强的最大迭代
概念，也隐含在集合概念中。
4.2极大性和迭代概念
术语“最大值”在集合论中有许多不同的含义，我在这里的思维是与迭代概念（IC）相关的一个非常具体的用途。记起根据IC，集合出现在由序数索引的级别内，其中每个后继级别Vα+1是前一个级别的幂集。正如布洛斯解释的那样，IC本身并不能说明有多少层（宇宙的高度）
V）或各个级别的厚度（V的宽度）。不过一般都是这样
被视为隐含在集合概念中，这两者都应该是最大的：
高度（或序数）最大值：宇宙V尽可能高，即
序数序列尽可能长。
宽度（或幂集）最大值：宇宙V尽可能宽（或厚），
即每组的幂集尽可能大。
如果我们将IC与最大值结合起来，我们就会得到MIC，即最大迭代概念，也是集合概念的一部分，但解释起来更具挑战性
简单的IC。
很自然地看到最大化的比较方面，即与可能意味着在可能性范围内尽可能大。于是自然而然解释高度和宽度最大值的方法是将V与其他可能的进行比较宇宙。
但现在我们面临着一个严重的问题。如果V是所有集合的固定宇宙，那么除了V中已经包含的宇宙之外，没有其他宇宙。换句话说，V是默认情况下是最大值，因为没有其他宇宙可以威胁其最大值，因此对于这个概念，我们能说的有限。
弗里德曼
我暂时推迟这个问题，转而讨论一个更简单的问题：让M表示ZFC(ctm)的可数传递模型。这句话是什么意思
M最大？
现在我们有一个不同的问题。表达最大化的自然方式M的意思是说M不能扩展到更大的宇宙。让我们称之为结构最大化。但在一个非常温和的假设下（有一个集合模型ZFC包含所有实数）这是不可能的：任何ctmM都是一个元素（并且因此是更大ctm的真子集）。
因此，我们转向一种更温和的最大化形式，称为句法最大化，表达如下。
在（句法）高度最大值的情况下，我们考虑M的延长，即ctm的M*，其中M是等级初始段（M的序数形成初始序列）
M*的序数段和这两个宇宙的幂集运算
同意M)中的集合。
在宽度最大的情况下，我们考虑M的加厚，即ctm的M*其中M是内部模型（M和M*具有相同的序数，并且M包含在内）
单位：M*)
通过这种方式，我们可以生成高度最大值和宽度最大值的形式ctm如下。
如果M是高度最大，那么M的属性也具有某些排名初始M的片段。这是反射的典型表述。（但是我们会看到高度最大值比反射更强。）当然具体实现高度最大值必须指定要考虑哪些属性。
如果M是宽度最大，那么M的加厚属性也适用于一些M的内部模型。对于一阶属性，这称为内部模型假设，或IMH（在[12]中介绍）。
上述关于ctm最大值的讨论虽然简短，但足以满足制定惠普战略。
现在我们回到V的极大值问题。以上讨论可以吗
对于ctm也适用于V？谈论延长和延长是否有意义？
V的增厚是否像我们谈论ctm时那样？存在以下差异
对此的看法，我接下来会讨论。
超宇宙计划
4.3现实主义与潜力主义
回想一下，在IC中，我们通过迭代过程描述V，即集合的宇宙powerset操作。这个过程是否结束，或者是无限期的，总是可以进一步扩展到更长的迭代？前一种可能性，即有是迭代过程的“限制”被称为高度现实主义，后者这种观点称为高度势能论。类似地，还有一个确定性问题
幂集运算：对于给定的集合，其幂集是确定的还是总是可以通过添加更多子集来进一步扩展它吗？前者称为宽度现实主义和后者的宽度势能主义。
关于这个主题有大量文献([4，19，20，21，23，24，25，26，29，31，32])。
但由于超宇宙计划在本体的选择上非常灵活，我们不会在这里对现实主义/潜力主义辩论进行冗长的讨论，但仅提及支持泽尔梅利安观点的一些观点，将高度潜力论与宽度现实主义相结合，我们选择采用这种观点进行分析通过HP实现最大化。
我们可以将情况总结如下。毫无困难，高度势能论有助于对高度最大值的分析。令人惊讶的是，我们将证明即使具有宽度现实主义，它也有助于使用V逻辑方法对宽度最大值进行分析。身高潜力论的另一个好处是我们可以将V最大值的研究减少为ctm's6最大值的研究。我们的论证还表明，高度现实主义对于我们对宽度最大值的分析是可行的，只要它通过足够强大的MK片段得到增强（莫尔斯-凯利阶级理论；只需要Σ11理解）。因此，HP唯一有问题的本体论是仅由弱阶级理论支持的高度现实主义；否则本体的选择对于HP来说并不重要（尽管该程序开发宽度潜能论与宽度现实主义略有不同）7
我现在将提出杰弗里·赫尔曼(GeoffreyHellman)的一些论点（[33]8）赞成6ctm的集合称为超宇宙；因此我们得出了超宇宙计划。
7仅使用GB（哥德尔-伯内斯）的高度现实主义似乎不足以对最大化。一位裁判向我们介绍了不可知论柏拉图主义，该观点认为所有集合都存在一个明确确定的宇宙V，但没有对ZFC是否成立持立场。但由于这种观点允许仅用GB实现高度现实主义的可能性，因此对于惠普。
8这些评论是在众多集合论学家和学者之间活跃的电子邮件交流中做出的。
从2014年8月到11月，我对集合论哲学家的研究，是由我对SolFeferman的预印本《连续统假设》既不是一个确定的数学问题，也不是一个确定的数学问题的回应所引发。逻辑问题。部分讨论记录在<
弗里德曼
高度势能主义和宽度现实主义，泽尔梅利安的观点。赫尔曼说：
“任何集合的宇宙都可以适当扩展的想法（在高度上，而不是在width）是非常自然的，得到了许多数学家的认可（例如MacLane，似乎是哥德尔等人提出的。al.)...正如麦迪和其他人所说，如果有可能的话
超出某个（假定最大）水平的集合存在，那么它们确实存在......因此，如果V的“可想象”（最终）扩展不是不连贯的，那么它们是可能的，然后，根据现实主义者、柏拉图主义者的解读，它们是真实的，而V并不是真的
毕竟是最大的。...这样的扩展总是可能的，因此a的概念单一固定的、绝对最大的集合宇宙V实际上是一个不连贯的概念。”
然后再次：
“我不知道‘尽可能高’意味着什么，因为绝对不能在逻辑上扩展的集合域的概念似乎
我语无伦次（或者至少是空洞的）。正如普特南在他有争议的论文中所说的那样，
“没有基础的数学”（1967），“即使上帝也无法创造一个宇宙”
策梅洛提出了不可能扩展的理论。我同意，神学在旁边。”
关于宽度势能论，赫尔曼说（[33]）：
“我想，我有一个关于‘尽可能厚’的好主意，因为
给定集合的完整幂集对我来说非常有意义......授予强制
扩展可以被视为累积层次结构的“加厚”，通常如此
描述过，当我们断言标准幂集公理时，我们隐式地构建了
二价，即x属于y或不属于y，即我们实际上在裁决
强制扩展或布尔值概括为非标准[我的斜体]，即‘全功率组’只能以标准方式来理解。”
并进一步：
“因此，按照我的思维方式，‘所有序数'...和'给定集合的所有子集'。后者“已经相对化了”；那里“子集”的概念中没有隐含任何允许无限扩展的内容，所以只要我们谈论“固定的给定集合的子集”......相反，“所有序数”
呼唤相对化（我在Zermelo的[1930]中发现了这一点）；没有它，它确实通过我们用来描述的操作来允许无限的可扩展性序数词”
维也纳大学库尔特·哥德尔研究中心
我讨论了集合论中真理的三个潜在证据来源，来自确定理论作为数学分支和数学基础的作用以及集合概念的内在极大性特征。我预测新的非一阶公理将会被发现，并且有所有三个公理的证据类型，并且这些公理将产生显着的一阶后果，这将被视为集合论的真实陈述。论文的大部分内容涉及超宇宙计划，其目的是发现一个最佳的数学表达集合论宇宙的高度和最大值的原理宽度。
1简介
ZFC公理的真实性被普遍接受至少有两个原因。
其中一个原因是基础性的，因为它们赋予集合论作为一种理论的能力。
整个数学的基础非常好，另一个是内在的，因为（除了AC可能的例外，选择公理）它们可以被视为可以从最大迭代概念所体现的集合概念推导出来。
事实上，比ZFC多一点点在本质上甚至是基础上都是合理的。我这里指的是反射原理及其相关的小大基数，也可以通过最大迭代概念推导出来高度（序数）最大值，并且至少在不可访问基数的情况下，是有时对于某些类型的高度抽象数学（例如格罗腾迪克宇宙）的发展很有用。ZFC的这些扩展在以下方面是温和的：
感觉它们与幂集极小性原理V=L兼容。
但找到与V=L相矛盾的公理真实性的有力证据已经非常困难。有许多的原因。其一是卷。\\j卷号\\j编号\\jyearIFCoLog逻辑杂志及其应用
弗里德曼
事实上，ZFC的温和扩展在某种意义上来说太好了，因为它们单独，直到最近已经足以满足集合论作为基础的需要
对于数学。另一个是从最大的压力中榨取更多的困难。
通过高度的宽度（幂集）最大值模拟的迭代概念引发反思的最大化原则。以及集合论的发展，作为数学的一个分支，它是如此引人注目、多样化和不断变化，以至于不可能选择那些对这个主题的观点
新公理堪称“最真”。
我写这篇文章的目的是为以下三个预测提供证据。
集合论实践的丰富性。集合论作为一个分支的发展，数学知识如此丰富，以至于对于哪一个一阶数学永远不会达成共识
公理（除了ZFC加上小大基数）最适合这种发展。
基本需求。正如AC现在因其在数学实践中的重要作用而被接受一样，对数学独立性结果的系统研究将发现与CH相矛盾的一阶语句（因此也V=L），其中最适合解决这种独立性问题。
最优极大性准则。通过超宇宙计划，它将有可能得出表达最大值的最优非一阶公理
集合论宇宙的高度和宽度；该公理将具有一阶结果与CH相矛盾（因此V=L）。
作为这三个预测的综合，我提出以下乐观的预测
集合论真理研究取得进展的情景。
集合论真理论文。将存在集合论的一阶陈述很好地满足了集合论实践和解决跨领域独立性的需求
数学，可导1
从集合论的极大值
宇宙的高度和宽度。此类陈述将被视为真实
集合论的陈述。
本论文有一个反面：为了使一阶陈述与V=L被认为是正确的，在我看来，它必须很好地满足集合论实践和解决数学独立性的需要，并且它必须满足至少与所表达的集合论宇宙的极大性相容
1有关可导性概念的讨论，请参见最后的第4.12小节。
超宇宙计划
通过最优极大值准则。事实上，这种证据的强度在我看来，一个陈述的真实性是通过它满足这些条件的程度来衡量的三个要求。
该论文的一个重要后果是CH的失败。因此我的一部分预测是CH将被视为错误。
请注意，在论文中我没有提到真正的一阶公理，而只是提到真正的一阶公理一阶语句。原因是以下附加主张。
超越一阶。对于提议的真实性永远不会达成共识与V=L相矛盾的一阶公理；相反，真正的一阶语句将仅作为真正的非一阶公理的结果而出现。
这种说法的一个原因是一阶语句不足以捕获集合论宇宙的极大性。
本文的计划如下。首先，我将回顾一些流行的一阶公理，它们很好地满足了集合论实践的需要，并论证了上面的丰富度预测。其次，我将讨论关于数学独立性的鲜为人知的知识，讨论强制公理作为证明数学独立性的证据的作用上面的基础预测。到目前为止，本文的主要目标是是第三部分，我在其中介绍了超宇宙计划，包括它的哲学基础和最新的数学发展。
2集合论实践
集合论是一门新兴学科，充满了新思想和新发展，不断带来新的视角。当然，这些观点中的某些观点是站得住脚的从众多正在被证明的新结果中脱颖而出，值得关注其中一些揭示了确定特定新公理的困难“真实的人”。
我强调需要找到与V=L相矛盾的公理的真实性的证据，但纯粹是从公理对于发展好的集合论，我将其称为第一类证据，这是不可能的。詹森的深入研究揭示了该公理的力量，揭示了V=L的力量，确实如此，当与小大基数结合时，似乎给我们提供了一个对于所有自然集合论陈述来说都是完整的理论！这是一项了不起的成就，很有说服力地支持基于第1类证据宣布V=L为真。
弗里德曼
对V=L的第1类自然反对意见是它没有考虑强迫，建立集合论新模型的基本方法。诚然，即使在L可以强制扩展可数模型，但强制扩展更为自然
完整的L而不仅仅是其中的一小部分。所以现在我们矛盾V=L
支持“V包含L的许多通用扩展”或类似的内容。
L的大量强制扩展听起来不错，但是我们的规范是什么
现在宇宙？难道我们不应该有一个只在V中为真的句子，而不是在其任何适当的内部模型中，同时具有许多通用的L的扩展？事实上，通过类强制这是可能的（参见[11]）。所以现在我们有一个很好的1型公理：V是一个规范宇宙，它是L上的类通用的，包含L的许多集合通用扩展。这是一个很好的上下文集合论，因为现在可以使用强制方法。
事实上我们可以做得更好，将V设为L[0#]。这个模型不仅包含L的许多通用扩展，它也是一个规范宇宙，我们恢复Jensen在V=L下开发的所有强大方法，现在相对化为真正的0#。因此，我们的1类证据引导我们得出极好的公理V=L[0#]。
异议！可测基数又如何呢？回忆一下重要的层次结构
一致性优势：自然理论是井然有序的（达到双向可解释性）
通过它们的一致性强度和大基数公理的一致性强度提供了一个很好的一致性强度集合，它在一个大的初始中是共同的，该层次结构的一部分（如果不是全部）。这并不意味着大基数必须存在，但至少应该有包含它们的内部模型。所以现在基于第一类证据，我们得到了一些版本的“存在具有大的内部模型”基数”，这是一个进行良好集合论的有吸引力的环境。
此外，请注意，如果我们有大基数的内部模型，我们就不会丢失查看L或其通用扩展的选项，它们仍然可用作内部楷模。所以我们似乎已经达到了迄今为止最好的1类公理。
但我们还可以要求更多。回想一下，L有一个很好的内部结构，对于导出V=L的结果非常有用。V不仅可以有内部模型吗
对于大红衣主教还有L型内部结构？答案当然是积极的，因为我们可以采用公理“存在具有大基数的内部模型
对于某个实数x，V=L[x]”。[14]中提供了更好的答案，其中显示了V可以与任意大基数一起呈L型，不仅在内部模型中，但在V本身。然而，尽管这听起来很有吸引力，但它未能解决一个关键问题
超宇宙计划
问题，这就是我们看到集合论的多个视角的地方，单一观点自称是“最好的”。
即使我们产生了一个很好的公理2，其形式为“有大基数和V是L的规范概括”，这样做使我们进入一个类似L的环境哪个做集合论。事实上，集合论还有其他令人信服的观点
这导致我们进入非L类环境，并相应地进入完全不同的环境类型1公理。我会提到其中两个。（有关概念的更多信息下面提到的可在[22]中找到）。
强制公理有着悠久的历史，可以追溯到马丁公理（MA），其特殊情况断言存在ccc偏序的泛型（即仅具有可数反链的偏序）超过大小为ℵ1的模型。这个简单的公理可用于一次性建立大范围的相对一致性集合论陈述。自然有人对加强MA，一种流行的公理是适当的强制公理(PFA)，它强化了这一点3
到更广泛的真偏序类。
现在关于1类证据，重点是PFA具有更引人注目的证据其后果比MA更重要，使其成为解决问题的核心和重要工具
集合论中的组合问题。可以用强有力的案例证明其真相
基于类型1证据。但当然PFA与任何公理相冲突，断言V是类似L的，因为它意味着CH的否定。事实上PFA意味着
连续体的大小为ℵ2。
1类证据的多样性不仅仅是L相似性和强制公理；还有一些基本特征。这些都是自然的且经过大量研究的研究可定义性理论和组合时出现的基数实数集的性质。这些基本特征中的每一个都是不可数的基数，其大小至多是连续体。现在考虑到各种这些特征以及它们可以始终不同于每个特征的事实，另外，采用基本特征提供的公理不是很引人注目吗？
一系列低于连续统大小的不同不可数基数
因此，连续统确实相当大，这与L相似性相矛盾
并强制公理？4
2Woodin事实上提出了这样一个公理，他称之为UltimateL。
3对于专家来说，要获得PFA，必须允许大小为ℵ1的非传递模型。
4作为一个具体示例，让a表示无限几乎不相交的子集族的最小大小
ω和b(d)从ω到ω有序的无界（主导）函数族的最小尺寸
通过最终的统治。那么b
弗里德曼
因此，我们拥有三种不同类型的公理，并且具有出色的1类证据：
与大基数、强制公理和基数特征公理的L相似性。
它们相互矛盾，但又都与内部模型的存在相一致
对于其他人。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足
确立集合论公理的真实性；也不足以决定是否或不CH为真。
3集合论作为数学基础
当然，我们可以衷心祝贺公理集合论成功地为数学提供了基础。一个压倒性的案例可以证明当定理在数学中被证明时，它们可以被视为一个定理
ZFC的轻度扩展（与V=L兼容）。特别是，我们通常期望数学问题可以用温和的方式回答（也许有很大的困难！）ZFC的扩展。
结果是，这种温和扩展的独立结果确实是整个数学的独立结果。这当然是小事
如果所讨论的独立性结果是集合论的陈述，那么重要性，如集合理论只是数学的一小部分。但这非常重要
当集合论之外的数学问题出现独立性时，如博雷尔、卡普兰斯基和怀特海测度猜想就是这种情况
理论、泛函分析和群论。让我们不要忘记
伟大数学家大卫·希尔伯特的论文认为数学问题可以使用该主题的强大工具来解决。了解如何处理
恢复数学作为完整学科的地位需要独立性
以及希尔伯特设想的明确的研究领域。
集合论学家关注这个问题的时机已经成熟。中心问题
是：
基础或类型2证据：是否存在集合论的特定公理
最能满足解决数学其他领域独立性的需求？
最近有迹象表明这个问题正在出现积极的答案，集合论在泛函分析、拓扑、抽象代数和模型论（逻辑领域，但仍在集合论之外）正在被发现。这我之前表达的基本需求正是对一种模式的预测，将从这些应用中出现，揭示集合论的特定公理
超宇宙计划
最适合使集合论更接近希尔伯特的完整基础希望。
现在这些集合论的基本优势公理在哪里？
成立？考虑以下具有良好1类证据的候选人列表：
V=L
V是L的规范且丰富的类通用扩展
大基本公理（如超紧凑公理）
强制公理，如MA、PFA
L(R)中的AD等确定性公理
基本特征公理如b
正如已经说过的，这些公理中的每一个对于集合的发展都很重要
理论，为该主题提供独特的视角。但也许令人惊讶的是
发现其中只有两个，V=L和强制公理，有任何显着的意义
对集合论之外的数学的影响！大基本公理的影响
（如超级紧凑）和基本特征公理已经是最小的，并且到目前为止，确定性公理还不存在。
为了提供更多细节，V=L和强制公理都可以用来回答
以下问题（以不同方式）：
泛函分析：必须来自C(X)、X紧凑Hausdorff的每个同态，进入另一个巴拿赫代数是连续的（卡普兰斯基问题）？是理想的
所有有界算子环中的可分离希尔伯特空间上的紧算子
两个较小理想的总和？；卡尔金代数的所有自同构都是内自同构吗？
拓扑与测度论：每个正规摩尔空间都是可度量的吗？是
有S空间（常规的、遗传性可分离的空间，其中一些开放的盖子没有可数子覆盖）？每个强测度0组实数是否可数（Borel推测）？
抽象代数：每个怀特海群都是自由的（怀特海问题）吗？什么是R(x，y，z)作为R[x，y，z]模的同调维数，其中R是实数域？无数领域的直接产物是否具有全球性维度2？
人们还可以提到模型理论领域（逻辑的一部分，但不是逻辑的一部分）
集合论），其中集合论的新公理可能在
弗里德曼
研究抽象基本类的莫利定理，甚至可能在沃特猜想的解决。
我的预测是V=L和ForcingAxioms将是明确的赢家
解决数学独立性的集合论公理的选择
作为一个整体。但由于V=L与集合论的极大值相冲突
宇宙的宽度，它不适合作为集合论命题的实现
事实证明，ForcingAxioms是当前的主要候选者。
4集合论宇宙的极大性和惠普
字母HP代表超宇宙计划，我现在在细节。
4.1集合的迭代概念
正如哥德尔所说，集合的迭代概念表达了这样的想法：集合是通过幂集的迭代应用从明确定义的对象中获得的东西手术。更详细地（遵循Boolos[7]；另请参阅[27]）：集合形成于阶段，其中仅在阶段0和任何更大的阶段形成空集，小于0，1形成早期阶段形成的集合的集合。（这样说，集合在最初形成之后的每个阶段都会重新形成，但这没关系。）
任何集合都是在其元素形成之后的某个最低阶段形成的。这概念排除异常：我们不能有x∈x，不存在所有集合的集合，不存在循环x0∈x1ε···εxnεx0并且不存在无限序列···εxnεxn−1εxn−2ε···εx1εx0，因为必须存在至少一个阶段xn之一已形成。我们假设有无限个集合5，所以迭代过程导致极限阶段ω，它不为0，也不是后继阶段。
迭代概念得出集合的宇宙是公理的模型
Zermelo集合论，即无替换且无以下公理的ZFC选择。该理论的标准模型是Vω+ω。
尽管如此，替换和AC（选择公理）作为一部分包含在内
出于非常不同的原因，集合论的标准公理。交流案例
通常是基于外在理由，引用其对发展的成果
5一旦我们将极大性添加到迭代概念中，这就是可推导的，但很方便
假设已经作为迭代概念的一部分。
超宇宙计划
数学的基础及其相应的集合论作为基础的必要性
数学（我称之为第二类证据的一个例子）。我不清楚
选择源自迭代概念，也源自其必要性
做得很好集合论（第一类证据）。
另一方面，替换可以从集合的概念中推导出来。查看
为此，我们需要将迭代概念扩展到更强的最大迭代
概念，也隐含在集合概念中。
4.2极大性和迭代概念
术语“最大值”在集合论中有许多不同的含义，我在这里的思维是与迭代概念（IC）相关的一个非常具体的用途。记起根据IC，集合出现在由序数索引的级别内，其中每个后继级别Vα+1是前一个级别的幂集。正如布洛斯解释的那样，IC本身并不能说明有多少层（宇宙的高度）
V）或各个级别的厚度（V的宽度）。不过一般都是这样
被视为隐含在集合概念中，这两者都应该是最大的：
高度（或序数）最大值：宇宙V尽可能高，即
序数序列尽可能长。
宽度（或幂集）最大值：宇宙V尽可能宽（或厚），
即每组的幂集尽可能大。
如果我们将IC与最大值结合起来，我们就会得到MIC，即最大迭代概念，也是集合概念的一部分，但解释起来更具挑战性
简单的IC。
很自然地看到最大化的比较方面，即与可能意味着在可能性范围内尽可能大。于是自然而然解释高度和宽度最大值的方法是将V与其他可能的进行比较宇宙。
但现在我们面临着一个严重的问题。如果V是所有集合的固定宇宙，那么除了V中已经包含的宇宙之外，没有其他宇宙。换句话说，V是默认情况下是最大值，因为没有其他宇宙可以威胁其最大值，因此对于这个概念，我们能说的有限。
弗里德曼
我暂时推迟这个问题，转而讨论一个更简单的问题：让M表示ZFC(ctm)的可数传递模型。这句话是什么意思
M最大？
现在我们有一个不同的问题。表达最大化的自然方式M的意思是说M不能扩展到更大的宇宙。让我们称之为结构最大化。但在一个非常温和的假设下（有一个集合模型ZFC包含所有实数）这是不可能的：任何ctmM都是一个元素（并且因此是更大ctm的真子集）。
因此，我们转向一种更温和的最大化形式，称为句法最大化，表达如下。
在（句法）高度最大值的情况下，我们考虑M的延长，即ctm的M*，其中M是等级初始段（M的序数形成初始序列）
M*的序数段和这两个宇宙的幂集运算
同意M)中的集合。
在宽度最大的情况下，我们考虑M的加厚，即ctm的M*其中M是内部模型（M和M*具有相同的序数，并且M包含在内）
单位：M*)
通过这种方式，我们可以生成高度最大值和宽度最大值的形式ctm如下。
如果M是高度最大，那么M的属性也具有某些排名初始M的片段。这是反射的典型表述。（但是我们会看到高度最大值比反射更强。）当然具体实现高度最大值必须指定要考虑哪些属性。
如果M是宽度最大，那么M的加厚属性也适用于一些M的内部模型。对于一阶属性，这称为内部模型假设，或IMH（在[12]中介绍）。
上述关于ctm最大值的讨论虽然简短，但足以满足制定惠普战略。
现在我们回到V的极大值问题。以上讨论可以吗
对于ctm也适用于V？谈论延长和延长是否有意义？
V的增厚是否像我们谈论ctm时那样？存在以下差异
对此的看法，我接下来会讨论。
超宇宙计划
4.3现实主义与潜力主义
回想一下，在IC中，我们通过迭代过程描述V，即集合的宇宙powerset操作。这个过程是否结束，或者是无限期的，总是可以进一步扩展到更长的迭代？前一种可能性，即有是迭代过程的“限制”被称为高度现实主义，后者这种观点称为高度势能论。类似地，还有一个确定性问题
幂集运算：对于给定的集合，其幂集是确定的还是总是可以通过添加更多子集来进一步扩展它吗？前者称为宽度现实主义和后者的宽度势能主义。
关于这个主题有大量文献([4，19，20，21，23，24，25，26，29，31，32])。
但由于超宇宙计划在本体的选择上非常灵活，我们不会在这里对现实主义/潜力主义辩论进行冗长的讨论，但仅提及支持泽尔梅利安观点的一些观点，将高度潜力论与宽度现实主义相结合，我们选择采用这种观点进行分析通过HP实现最大化。
我们可以将情况总结如下。毫无困难，高度势能论有助于对高度最大值的分析。令人惊讶的是，我们将证明即使具有宽度现实主义，它也有助于使用V逻辑方法对宽度最大值进行分析。身高潜力论的另一个好处是我们可以将V最大值的研究减少为ctm's6最大值的研究。我们的论证还表明，高度现实主义对于我们对宽度最大值的分析是可行的，只要它通过足够强大的MK片段得到增强（莫尔斯-凯利阶级理论；只需要Σ11理解）。因此，HP唯一有问题的本体论是仅由弱阶级理论支持的高度现实主义；否则本体的选择对于HP来说并不重要（尽管该程序开发宽度潜能论与宽度现实主义略有不同）7
我现在将提出杰弗里·赫尔曼(GeoffreyHellman)的一些论点（[33]8）赞成6ctm的集合称为超宇宙；因此我们得出了超宇宙计划。
7仅使用GB（哥德尔-伯内斯）的高度现实主义似乎不足以对最大化。一位裁判向我们介绍了不可知论柏拉图主义，该观点认为所有集合都存在一个明确确定的宇宙V，但没有对ZFC是否成立持立场。但由于这种观点允许仅用GB实现高度现实主义的可能性，因此对于惠普。
8这些评论是在众多集合论学家和学者之间活跃的电子邮件交流中做出的。
从2014年8月到11月，我对集合论哲学家的研究，是由我对SolFeferman的预印本《连续统假设》既不是一个确定的数学问题，也不是一个确定的数学问题的回应所引发。逻辑问题。部分讨论记录在<
弗里德曼
高度势能主义和宽度现实主义，泽尔梅利安的观点。赫尔曼说：
“任何集合的宇宙都可以适当扩展的想法（在高度上，而不是在width）是非常自然的，得到了许多数学家的认可（例如MacLane，似乎是哥德尔等人提出的。al.)...正如麦迪和其他人所说，如果有可能的话
超出某个（假定最大）水平的集合存在，那么它们确实存在......因此，如果V的“可想象”（最终）扩展不是不连贯的，那么它们是可能的，然后，根据现实主义者、柏拉图主义者的解读，它们是真实的，而V并不是真的
毕竟是最大的。...这样的扩展总是可能的，因此a的概念单一固定的、绝对最大的集合宇宙V实际上是一个不连贯的概念。”
然后再次：
“我不知道‘尽可能高’意味着什么，因为绝对不能在逻辑上扩展的集合域的概念似乎
我语无伦次（或者至少是空洞的）。正如普特南在他有争议的论文中所说的那样，
“没有基础的数学”（1967），“即使上帝也无法创造一个宇宙”
策梅洛提出了不可能扩展的理论。我同意，神学在旁边。”
关于宽度势能论，赫尔曼说（[33]）：
“我想，我有一个关于‘尽可能厚’的好主意，因为
给定集合的完整幂集对我来说非常有意义......授予强制
扩展可以被视为累积层次结构的“加厚”，通常如此
描述过，当我们断言标准幂集公理时，我们隐式地构建了
二价，即x属于y或不属于y，即我们实际上在裁决
强制扩展或布尔值概括为非标准[我的斜体]，即‘全功率组’只能以标准方式来理解。”
并进一步：
“因此，按照我的思维方式，‘所有序数'...和'给定集合的所有子集'。后者“已经相对化了”；那里“子集”的概念中没有隐含任何允许无限扩展的内容，所以只要我们谈论“固定的给定集合的子集”......相反，“所有序数”
呼唤相对化（我在Zermelo的[1930]中发现了这一点）；没有它，它确实通过我们用来描述的操作来允许无限的可扩展性序数词”
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