玄宇宙计划（2）
超宇宙计划
我确实很欣赏赫尔曼的观点，并且确实会（在很大程度上）采纳
本文采用泽尔梅利安的观点，即高度势能主义与宽度现实主义。
支持这一观点的另一个要点是，尽管我们有一个明确且通过迭代过程生成序数的连贯方式，有目前没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集9
鉴于对高度势能论的采用，我现在将使用符号V
含糊其辞，不是表示所有集合的固定宇宙（它不存在），而是
作为一个变量，范围涵盖泽尔梅尔多重宇宙中的宇宙，其中每个宇宙是下一个等级的初始部分。
尽管我采用了泽尔梅利安的观点，但出于说明的目的，我也将考虑一种在高度和宽度上的潜在主义形式，我将其称为激进潜在主义。HP可以用任一观点来运行。虽然它是激进势能论更简单，有一些有趣的问题（数学和哲学），当采用泽尔梅利安观点时出现，这是值得的探索。
为了描述激进的势能论，让我从不那么激进的东西开始，宽度潜在主义。首先作为动机，考虑柏拉图主义的观点，因此V是固定的所有集合的全域，并考虑强制生成泛型集合的方法。如果M是一个ctm，我们可以使用可数性轻松构建M的通用扩展M[G]
但当然V的通用扩展V[G]不存在，因为我们的“真正的V”有所有的集合。尽管如此，我们可以在V中明确地讨论在这样的情况下什么是真实的
一个通用扩展，实际上在V中没有这样的扩展，通过构造布尔宇宙V
V内的B并在V的一般扩展中取真
V中非零布尔真值的平均值B.因此柏拉图主义的观点实际上是
二元论：它允许理解宇宙中的真理（通用扩展）而不允许这些宇宙实际存在。
宽度势能论是一种观点，在这种观点中，任何宇宙都可以变厚，同时保持相同的序数，甚至达到使序数可数的程度。因此例如
它允许V的通用扩展的存在（现在是一个变量范围在所有可能的宇宙的多重宇宙上），这是柏拉图主义者所禁止的。
因此，对于V的任何序数α，我们可以将V粗化为α可数的全域；即任何序数都是潜在可数的。但这并不意味着每个序数V在V中是可数的，只有在更大的宇宙中才可数。所以这个潜力可数性不会威胁V中幂集公理的真实性。
9但我不能100%确定不可能存在这样一个类似的迭代过程，也许由非常成功的大基数内部模型理论提供。
弗里德曼
现在，激进势能论实际上是宽度势能论和高度势能论的统一。它意味着任何V（在可能宇宙的多重宇宙中）看起来都是可数的
在更大的宇宙中：我们允许V同时变长和变厚。
请注意，即使只是宽度势论（允许宇宙变厚）也会迫使我们也陷入了高度势能主义：如果我们继续加厚以使每个序数V可数，然后在Ord(V)步骤之后，我们也被迫延长以达到满足幂集公理的宇宙。在那个宇宙中，原来的V看起来可数的。但是我们可以对这个新宇宙重复这个过程，直到它也被认为是可数的。身高潜力论的方面是我们无法结束这一切
通过将我们所有的宇宙结合起来进行处理，因为这不是一个模型
ZFC（幂集公理将失败），因此必须延长。笔记
再次强调，V的潜在可数性不会威胁到V中ZFC的公理。
4.4高度和代数的最大值
最大高度分析是HP的第一个重大成功。该程序产生了表达V高度最大值的稳健原理
它似乎涵盖了所有先前的高度最大值原则，包括反射，并构成了V的高度最大值的确定表达式数学术语。
对于我们对高度最大化的讨论，高度潜力论就足够了（激进的不需要潜在论）。因此我们可以选择将V延长至宇宙V＊以V作为初始段。当然我们也可以考虑V的缩写，用它自己的排名初始段之一替换V。现在就让我们利用延长和缩短来制定高度最大化原则
对于V，表达序数序列尽可能长的想法。
但在开始分析最大高度之前，我们应该注意以下各项：没有一阶语句phi足以完全捕获高度最大化。这只是因为V中的一阶语句true将反映到它的排名初始段之一，然后我们自然地从phi引导到更强的一阶陈述“ψ在V和某些传递集合模型中都成立ZFC”。我们还将看到没有一阶语句足以捕获宽度最大化。这是引言中超越一阶主张的一个实例：
与V=L相矛盾的真正的一阶陈述仅作为true的结果出现非一阶公理。
但是我们如何用非一阶公理捕获高度最大值呢？我们的确是
超宇宙计划
这是通过对V与其延长之间的关系进行详细分析得出的起酥油。
标准Lévy反射告诉我们，V的单个一阶性质
参数将保存在包含这些参数的某些Vκ中。这是很自然的将其强化为同时反映V的所有一阶属性一些Vκ，允许来自Vκ的任意参数。因此我们将V反射为Vκ
这是V的基本子模型。
重复这个过程会导致我们得到一个不断增加的、连续的序数序列
（太太|i<∞)，其中∞表示V的序数高度，使得模型(Vκi|i<∞)形成V的基本子模型的连续链Vκ0≺Vκ1≺···
其并集是V的全部。
设C为由κi组成的真类
我们可以应用反射
V和C作为附加谓词来推断(V，C)的属性也成立
一些（Vκ，C∩κ）。但C的无界性是(V，C)的属性，所以我们得到some(Vκ，C∩κ)其中C∩κ在κ中无界，因此κ属于C。
推论，V的属性实际上在某些Vκ中成立，其中κ属于C。
方便地用其反证形式来表达这一点：如果一个属性对于Vκ成立
所有κ在C中，那么它也对V成立。
现在请注意，对于C中的所有κ，Vκ可以延长为基本扩展
（即V），它是排名初始的段。由反证形式
反思前一段，V本身也有这样的加长V∗
但这显然还不是故事的结局。出于同样的原因我们也可以推断存在这种延长的连续递增序列V=Vκ∞≺
在∗κ∞+1≺V∗κ∞+2≺···序数的长度。为了方便表示，我们把∗并写成Wκi而不是V∗
太太
对于∞
但V的延长是哪一塔V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···
我们应该考虑吗？我们能否使这座塔的选择成为规范？
考虑整个序列Wκ0≺Wκ1≺···≺V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···。直觉是所有这些模型在以下方面都相似
他们共享相同的一阶属性的感觉。确实凭借事实上，它们形成了一个基本链，这些模型都满足相同的一阶句子。但同样本着“相似”的精神，以下几点应该成立：
弗里德曼
对于i0
作为一个一元谓词。那么情况应该是任意两个这样的对(Wκi1，Wki0)，(Wkj1，Wkj0)（其中i0
三元组、四元组和n元组通常会出现以下情况：
(*)V出现在连续的基本链中Wκ0≺Wκ1≺···≺V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···长度为∞+∞，其中模型Wκi形成一个强烈不可辨别的链，对于任何n和任何两个递增的n元组
~i=i0
（类似地定义）满足相同的一阶句子，允许来自Wκi0的参数∩Wκj0
我们越来越接近#一代的理想公理。我们当然可以强加我们的模型链上的高阶不可辨别性。例如，考虑一对
型号Wκ0=Vκ0，Wκ1=Vκ1。我们可以要求这些模型满足相同的条件
二阶句子；等价地，我们要求H(κ+0)V和H(κ+1)在满足相同的一阶句子。但与H(κ0)对一样在，H(k1)我们会想要H(κ+0)在，H(先生+1)在满足带有参数的相同一阶句子。
我们该如何表述呢？例如，考虑κ0，H(κ+0)在这是关于H(κ0)的二阶在;我们不能简单地要求H(κ+0)在ψ(k0)当且仅当H(k+1)
Vphi(κ0)，因为κ0是H(κ)中最大的基数。+0)
V但不在H(先生+1)在。相反，我们需要将左侧出现的κ0替换为右侧的“相应”参数，即κ1，导致自然要求H(κ+0)VΦ(κ0)当且仅当H(κ+1)VΦ(κ1)。更一般地说，我们应该能够替换H(κ+0)V由H(κ的“相应”元素+1)在。它使用嵌入来解决这个参数问题是很自然的。
定义1。（参见[10]）
结构N=(N，U)称为具有临界点κ的#，或者仅称为#，如果
以下保留：
(a)N是ZFC−（ZFC减去幂集）的模型，其中κ都是最大的基本且难以接近。
(b)(N，U)是可行的（即x∩UεN对于任何xεN）。
(c)U是(N，U)中κ的正常测量值。
(d)N是可迭代的，即所有以(N，U)开头的连续迭代超幂有充分根据，产生迭代（Ni，Ui)和Σ1基本迭代映射πij：Ni→Nj其中(N，U)=(N0，U0)。
我们让κi表示第i次迭代Ni的最大基数
超宇宙计划
如果N是#并且λ是极限序数，则LP(Nλ)表示(Vκi)在的对于i<λ。（LP代表下部分。）LP(N∞)是ZFC的模型。
定义2.我们说ZFC的传递模型V是#生成的当且仅当有N=(N，U)，a#迭代N=N0→N1→···，使得V等于LP(N∞)
其中∞表示V的序数高度。
#-Generation满足了我们对垂直最大化的要求，并对反思产生了强大的影响。L是#生成的iff0#存在，所以这个原理是兼容的
其中V=L。如果V是通过(N，U)#生成的，则存在基本嵌入从V到V可以通过(N，U)迭代进行规范定义：
上面的符号，来自κi的任何保序映射到κi的延伸到这样的一个基本的嵌入。如果π:V→V是任何这样的嵌入，那么我们不会得到
只有结构H(κ+我)，对于所有i以及结构H(先生+a我)对于任何α<κ0及以上。此外，#一代显然提供了
最大垂直反射量：如果V由(N，U)生成为LP(N∞)
其中∞是V的序数高度，x是进一步迭代中的任何参数
在(N，U)的∗=N∞*，则任意一阶性质ψ(V，x)在V中成立∗反映至ψ(Vκi对于所有足够大的i
L中的这一点通过詹森#生成的编码定义（定理9.1.的[6]）其中指出，如果V是#生成的，则V可以编码为#生成的
模型L[x]对于实数x，其中生成V的给定#扩展到自然数
发电机x
#模型L[x]。
由此我们可以得出结论，#生成的模型具有相同的大基数和当0#存在时L的反射属性。
#-Generation还回答了我们的问题，即在反射中查看V延长的哪个规范塔，即迭代的更下部部分任何生成V的#。这座加长塔与选择无关为V生成#，因此完全规范。和#代完全
认识到V应该看起来与它的许多阶的无限闭合完全一样
初始片段及其任意序数高度的规范延长。
总之，#-Generation脱颖而出，是高度最大化原则的正确形式化，我们将#-生成的模型称为最大
在高度上。它不是一阶的（我们认为没有最佳高度最大值
弗里德曼
原理可以是），但是它是二阶的，但方式非常受限制：对于可数V，作为生成V的#的属性可以通过量化来表达
普遍适用于模型Lα(V)，因为α范围涵盖可数序数。
4.5宽度最大值和IMH
而在高度极大的情况下，我们可以使用高度势能论（即将V延长到更高宇宙的选项）以达到最佳原则，宽度最大的情况具有非常不同的性质。与身高不同最大值，我们会看到宽度最大值有许多不同的标准并且不会轻易得出最优标准。此外，为了获得一个公平的画面
高度和宽度都最大化，需要综合或统一宽度
具有#-Generation的最大值标准，最佳高度最大值标准。
彻底分析不同可能的宽度最大值标准及其与#代的综合，旨在达到最佳标准，是超宇宙计划的主要目标。
我将从激进势能论背景下讨论宽度极大性开始，因为这提供了比泽尔梅利安观点提供的理论更简单的理论。
因此，我们使用符号V作为变量，其范围不超过泽尔梅尔多元宇宙（其中宇宙按等级初始段的关系排序），但超越激进势能主义提供的丰富多元宇宙的元素，其中每个元素宇宙是潜在可数的。我们从基础开始：
内部模型假设（IMH，[12]）如果一个一阶句子在某些外部成立V的模型，那么它在V的某个内部模型中成立。
对于当前的演示，我们可以将外部模型表示为传递集
在∗包含V，与V具有相同的序数，满足ZFC。内部模型本演示中是V的V可定义子类，其序数与V相同，其中满足ZFC。根据激进势能论，ZFC的任何传递模型都是可数的，一个更大的这样的模型，从中我们可以推断出存在丰富的集合V的外部模型。
#代的一致性源自0#的存在。但是IMH的一致性，即存在满足IMH的宇宙V的断言，需要更多。
IMH的一致性
超宇宙计划
定理3.([18])假设大基数存在可数传递性ZFC的模型M，使得如果一阶句子phi在以下模型的外模型N中成立
那么M的内部模型也成立。
证明。对于任何实数R，让M(R)表示ZFC的最小传递模型，其中包含R.我们假设有大基数，所以确实存在这样的M(R)（存在仅仅一个不可访问的就足够了）。我们需要以下结果
大基数：
(*)存在一个实数R，对于任何实数S，其中R是递归的，（一阶）M(R)的理论与M(S)的理论相同。
我们可以从大基数导出(*)，如下所示。大基数产生投射决定性（PD）。马丁定理是PD蕴涵以下Cone定理：如果X是在图灵等价下封闭的实数射影集，那么对于某个实数R，对于所有实数S（其中R是递归的），或者S属于X，或者S属于对于所有实数S（其中R是递归的）X的补集。
现在对于每个句子phi考虑由那些实数R组成的集合X(phi)M(R)满足phi。该集合是射影的并且在图灵等价下是封闭的。
根据圆锥定理，我们可以选择一个实数R(ψ)，使得ψ在M(S)中为真，所有实数S，其中R(phi)是递归的，或者这对于∼phi成立。现在让R为任意实数其中每个R(phi)都是递归的；因为只有可数个phi，这是可能的。
然后R见证了属性(*)。
我们声称如果N是M(R)满足ZFC的外模型并且是一个句子，在N中为真，则phi在M(R)的内部模型中为真。为此，我们需要以下内容
詹森深度定理。
编码定理（参见[6]）令α为N的序数高度。则N有一个外层对于某些实数S，其形式为Lα[S]的模型满足ZFC，其中N为Δ2-可通过参数定义。
由于R属于M(R)，因此它也属于N，因此也属于Lα[S]，其中S将N编码为多于。另请注意，由于α最小，因此M(R)=Lα[R]模型ZFC，因此它也是至少使得Lα[S]满足ZFC，因此Lα[S]等于M(S)。
显然，我们可以选择S成为R之上的图灵（只需将S替换为与R）。但现在根据R的特殊性质，M(R)和M(S)的理论是相同的。由于N是M(S)的可定义内模型，因此M(S)的部分理论是
弗里德曼
陈述“有一个Φ的内部模型，它可以用参数Δ2定义”
因此，根据需要，存在满足phi的M(R)内部模型。✷
请注意，我们上面为IMH、M(R)生成的模型对于某些实际情况R是包含真实R的最小模型，因此满足“不存在难以接近的红衣主教”。这并非偶然：
定理4。[12]假设M满足IMH。那么M中：没有不可访问的基数，事实上存在一个实数R，使得不存在传递性包含R的ZFC模型。
证明。Beller和David的定理（也在[6]中）扩展了Jensen的编码定理说任何模型M对于某个实数R都有一个形式为M(R)的外部模型，其中如上M(R)是包含R的ZFC的最小传递模型。现在假设M满足IMH并考虑句子“不存在不可访问的红衣主教”。这在M的外部模型M(R)中是正确的，因此在内部模型中也是如此M的。由此可见，M中不存在不可访问的地方。与句子“存在一个真实的R，使得不存在包含ZFC的传递模型
R”给出了M的内部模型M0，对于某些实数R具有此属性；但随后也
M具有此属性，因为M中包含R的任何ZFC传递模型也会在M的L[R]中给出这样的模型，因此在M0中给出这样的模型，因为M0包含L[R]M.✷
由此可见，如果M满足IMH，则M中的某些实数没有#，因此粗体Π11确定性在M中失败（尽管0#确实存在且lightfaceΠ11确定性确实成立）。
宽度现实主义
到目前为止，我已经在激进势能论的背景下提出了IMH，使我们能够自由地讨论宇宙V的外部模型（增厚）。这是当然，对于宽度现实主义者来说这是不可接受的，他们认为Vα具有固定的含义每个序数α（尽管可能是一个不固定的、潜在的关于序数的观点是）。尽管如此，是否有可能谈论V的宽度最大值
宽度现实主义者的观点（其中V现在是一个范围在Zermelian多元宇宙）？我们能否表达V尽可能厚的想法，而不需要实际将V与更厚的宇宙（不存在）进行比较？
通过对V逻辑的研究，得出了对后一个问题的肯定答案，接下来我将介绍这一点。Barwise的书[5]是该材料的有用参考。
超宇宙计划
V逻辑
让我们从更简单的Vω逻辑开始。在Vω逻辑中，我们有用于a∈Vω的常量符号́a以及常量符号V̊ω对于Vω本身（除了ε和一阶逻辑的其他符号）。然后是通常的逻辑公理和规则
在ModusPonens中，我们添加了规则：
对于aεVω：从phi(¯b)对于每个b∈a推断∀x∈aphi¯(x)。
从phi(¯a)对于每个a∈Vω推断∀x∈V¯ωφ(x)。
引入第二条规则会通过证明生成新的可证明陈述
现在是无限的。Vω-logic的思想是捕捉模型的思想，其中Vω为标准。根据ω-完备性定理，逻辑上可证明的句子Vω逻辑正是在每个模型中都成立的逻辑，其中¯a被解释为a对于a∈Vω和V́ω被解释为（实数，标准）Vω。因此理论T在Vω-logic与Vω-logic是一致的，当且仅当它有一个模型，其中Vω是真实的、标准的Vω。
现在，Vω-逻辑中逻辑上可证明的公式（即有效性）的集合，与在一阶逻辑中，不是算术的，即它不能在模型Vω上定义。
相反，它可以在更大的结构（Vω的延长）上定义。让我解释。
由于Vω逻辑中的证明不再是有限的，因此它们自然不属于Vω。
相反，它们属于最小允许集(Vω)+包含Vω作为元素，这被高级递归理论家称为LωCK1，其中ωCK1是最小非递归序数。一些非常好的事情发生了：而一阶逻辑的证明属于Vω，因此可证明性是Σ1在Vω上可定义（存在一个证明是Σ1)，Vω-逻辑中的证明属于(Vω)+且可证明性是Σ1可在(Vω)上定义+
就我们目前的目的而言，要点是(Vω)+是加长，不是加厚
Vω的长度，在这种延长中，我们可以制定描述任意的理论，以Vω为标准的模型。例如，存在一个实数R，使得(Vω，R)满足一阶性质，可以表示为
Vω-逻辑中的理论。由于结构(Vω，R)可以看作是“增厚”
对于Vω，我们已经通过以下理论描述了Vω“增厚”时可能发生的情况
(Vω)+，Vω的延长。如果我们不是从Vω开始而是从Vω开始，这会更加戏剧化与(Vω)+=错误CK1并引入LωCK1-logic，确保递归的逻辑
序数词是标准的。然后在延长(LωCK1)Lω的+CK1，最少允许的包含Lω的集合CK1
作为一个元素，我们可以表达增厚的存在
弗里德曼
错误CK1
其中一阶陈述成立，并且这种加厚可以包含新的实数和更多元素。
V-logic与上面类似。它有以下常量符号：
1.V中每个集合a的常数符号¯a。
2.一个常数符号V¯来表示宇宙V。
公式以通常的方式形成，就像任何一阶逻辑一样。到平常的一阶逻辑的公理和规则我们添加新规则：(*)由ψ(́b)对于所有b∈a推断∀x∈á́(x)。
(**)从所有a∈V的phi(¯a)推断∀x∈Vphi¯(x)。
这是描述以V为标准的模型的逻辑。这个逻辑的证明出现在V+，包含V作为元素的最小允许集合；这个结构V+是Lα(V)形式的V的特殊延长，即哥德尔L层次结构的第α层立在V之上。我们将这种延长称为哥德尔延长。回想一下，与我们的身高潜力论观点，我们可以将V延长为模型V＊以V为等级初始段，因此肯定将V延长到哥德尔延长V+
（从高度现实主义者的角度来看也是如此，只要我们允许我们满足MK(Morse-Kelley)的类，就像在MK中我们可以构造一个类编码在+.)
宽度现实主义者的内部模型假设
作为宽度现实主义者，我们不能直接谈论外部模型，甚至不能直接谈论集合不属于V。然而，使用V逻辑我们可以间接地讨论它们，正如我现在将说明的那样。考虑V逻辑中的理论，其中我们不仅有常数符号¯a表示V的元素，常量符号V´表示V本身，但也可以是常数符号W表示V的“外部模型”。我们添加新的公理：
1.宇宙是ZFC（或者至少是较弱的KP，可接受性理论）的模型。
2.W´是ZFC的传递模型，包含V´作为子集并且具有相同的序数词为V。
所以现在当我们采用遵循V逻辑规则的公理模型时，我们得到宇宙建模ZFC（或至少KP），其中V被正确解释为V
W被解释为V的外部模型。请注意，V逻辑中的这个理论有没有“加厚”V的情况下被制定，实际上它是在V内部定义的+，最少包含V的容许集合，V的哥德尔延长。后者再次有道理
感谢我们采用高度（而不是宽度）势能论。
那么对于宽度现实主义者来说，IMH到底说了什么？它说如下：
IMH：假设phi是一阶句子，并且上述理论，一级公理“W满足phi”在V逻辑中是一致的。那么phi的内模型成立在。
换句话说，不是直接谈论V的“加厚”（即“外层”）模型”）我们反而谈论用V逻辑表述的理论的一致性并在V中定义+，V的（温和）哥德尔延长。
请注意，这也提供了可定义性引理的强大扩展用于强制设置。后者说，在V中我们可以明确地表达这样一个事实：
带参数的句子保存在“集合通用扩展”中（对于有界的句子复杂性，例如固定n的Σn句子）。上图表明我们可以做到
对于V的任意“加厚”也是如此，但是可定义性发生在哪里
不是在V而是在V+。（在全知宇宙V的情况下，我们实际上可以获得V的可定义性，并且在温和的大基数假设下，V将是无所不知的。
对此的讨论请参见第4.11小节。）
到目前为止，我们已经研究了V、它的延长和“加厚”（通过理论）
以其延长表示）。接下来我们进行重要的一步，那就是减少这个讨论是为了研究可数传递模型的某些属性ZFC，即超宇宙（ZFC的可数传递模型的集合）。
这种减少的净效应是表明我们的宽度现实主义讨论
极大性实际上相当于一种激进的势能论讨论，其中所有正在考虑的模型属于超宇宙。
4.6超宇宙的还原
当然，去掉“thickenings”中的引号会舒服得多
V的，因为我们可以省去重新表述我们的直觉的需要通过V逻辑理论的外部模型。确实，如果我们要进行这样的讨论
不是关于V而是关于可数传递ZFC模型Little-V，那么我们的担忧蒸发，因为真正的增稠剂变得可用。例如，如果P是一个强迫，如果我们知道little-V中的概念，那么我们肯定可以构建一个P-通用扩展来获得little-V[G]。
当然，我们不能对V本身执行此操作，因为通常我们无法构造泛型集
对于具有无数个最大反链的偏序。
但是我们用V逻辑分析事物的方式使我们能够减少对可数传递模型研究中V的极大标准。作为收藏可数传递模型的名称为“超宇宙”，然后我们就会得到所谓的超宇宙计划。
我将用具体的例子来说明超宇宙的简化
IMH。假设我们使用V逻辑制定如上所述的IMH，并且想要知道它会产生什么一阶后果。
引理5.假设一阶句子ψ在所有可数模型中成立IMH。然后它适用于IMH的所有型号。
证明。假设phi在IMH的某个模型V中失败，其中V可能是不可数的。现在请注意，IMH可以用V一阶表示+，V的延长。
但然后应用向下的Löwenheim-Skolem定理来获得可数满足IMH的Little-V，已在其相关的Little-V中验证+，但未能满足ψ。但这是一个矛盾，因为根据假设ψ必须在所有可数中成立IMH的模型。✷
因此，在不失一般性的情况下，当考虑V逻辑中表述的最大值标准的一阶结果时，我们可以将自己限制为可数的小V。这样做的好处是我们可以省去小V逻辑和完全引用“加厚”，如小V的完备性定理-逻辑，小V逻辑中的一致理论确实有模型，这要归功于可数性小V的。因此，对于可数的小V，我们可以简单地说：
IMHforlittle-V's：假设一阶句子在以下模型中成立：
小V。然后它保存在Little-V的内部模型中。
这正是我们开始时的IMH的激进势能主义版本。
因此，IMH的宽度现实主义和激进势能主义版本是一致的可数模型。
#-一代人重温
然而，将极大性原则简化为超宇宙并不是总是如此明显，正如我们现在将在#-Generation的情况中看到的那样。这揭示了
超宇宙计划
HP发展的差异形成了Zemelian观点与激进的潜在主义观点。
首先考虑以下令人鼓舞的类比，适用于我们早期的#一代
IMH减免申请。
引理6.假设一阶句子ψ在所有可数模型中成立，是#生成的。然后它适用于#生成的所有模型。
证明。假设phi在某些#生成的模型V中失败，其中V可能是不可数的。设(N，U)为V的生成#，并将V和(N，U)放入其中，ZFC减去幂集T的一些传递模型。现在将Löwenhiem-Skolem应用于T产生一个可数传递性T，其中有一个V，T认为是由(N，´U´)生成，将T´基本嵌入到T中，将V´发送到V并(N，U)到(N，U)。但事实是(N，U)是可迭代的并且(N，´U´)被嵌入到(N，U)足以得出结论：(N，´U´)也是可迭代的。所以我们现在有一个可数的V，它是#生成的（通过(N，¯U)），其中phi失败，这与假设相反。✷
然而困难在于：我们如何从宽度表达#-Generation
现实主义的观点？回想一下，要为V生成生成#，我们必须产生一组小于Ord(V)且不属于V的秩，违反了宽度现实主义。
回想一下，#是满足某些一阶条件的结构(N，U)另外，它是可迭代的：对于任何序数α，如果我们迭代(N，U)α步，则它仍然是有充分根据的。如果有#生成V，则V是#生成的。但请注意，为了表达V的生成#的可迭代性，我们必须考虑理论Tα在Lα(V)逻辑中表述，用于V的任意哥德尔延长Lα(V)：Tα断言V是由pre-#生成的（即由看起来像#的结构生成）
但可能不是完全可迭代的），它是α-可迭代的，即可迭代α-步。因此我们没有固定的理论来捕捉#一代人，而只有一座理论塔
Tα（当α的范围超过V的高度的序数时），捕获越来越近对其的近似值。
定义7.如果对于每个超过V高度的序数α，V是弱#生成的，理论Tα表达了α-iterablepre-#的存在，它生成V是一致的。
弱#代对于宽度现实主义者来说是有意义的（他们接受足够的获得哥德尔延长的高度势能论），因为它完全用术语表达V的哥德尔延长的内部理论。
对于可数的小V，弱#代可以在语义上表达。第一的一个有用的定义：
定义8.设little-V为ZFC的可数传递模型，α为序数。
如果存在一个生成little-V的α-iterablepre-#，则little-V是α生成的
（作为其第一个γ迭代的下部部分的并集，其中γ是序数高度小V）。
然后，如果每个小V都是α生成的，那么它就是弱#生成的
可数序数α（对此的见证可能取决于α）。小V是#-生成iff当α=ω1时它是α生成的iff它对于所有序数都是α生成的A。
正如#-的宽度现实主义公式需要句法方法一样代，将这种弱化形式的#-代还原为超宇宙采用语法形式：
引理9.假设一阶句子phi在所有可数小V中成立
这是弱#生成的，这在ZFC中得到了证明。那么ψ在所有的情况下都成立弱#生成的模型。
证明。令W为弱#生成模型（可能是不可数）。因此对于W高度以上的每个序数α，理论Tα+∼phi表示phi
W中的失败与W是由α-iterablepre-#生成的一致。如果我们选择α那么
Lα(W)是ZFC的模型（或者足够的ZFC，其中phi的真值可数为#生成的模型可证明）那么Lα(W)是（足够的）ZFC的模型，其中W是弱#生成的。应用Löwenheim-Skolem获得可数的W和ά使得Lα̂(Ŵ)基本嵌入到Lα(W)中，因此满足（足够of)ZFC加上“W是弱#生成的”。现在让g对于Lα̅(W̅)是泛型的W¯（的高度）到ω的Lévy塌缩；那么Lα̅(W̅)[g]是一个模型（足够of)ZFC，其中W是可数的并且是弱#生成的。通过假设Lά(W)[g]满足“Ŵ满足́”，因此W确实满足́。最后，根据需要，W也满足phi。✷
总结一下：作为激进的潜在主义者，我们可以轻松地与完整的#-一代作为我们的高度最大化原则。但作为宽度现实主义者，我们相反，使用弱#代，以V的哥德尔延长Lα(V)内的理论表示。弱#代足以最大化宇宙的高度。正确表述后，超宇宙的还原适用于弱#-Generation：推断一阶语句来自弱#-Generation
足以表明，在ZFC中，我们可以证明它在所有弱#生成的情况下都成立
可数模型。
对于可数而言，弱#-Generation确实严格弱于#-Generation
models:假设0#存在，选择α最小，使得α为第α个Silver
不可辨别（α是可数的）。现在让g在L上泛型，Lévy将α折叠为ω。那么根据Lévy绝对性，Lα在L[g]中是弱#生成的，但不能#-在L[g]中生成为0#不属于L的通用扩展。
在下文中，我将主要使用#代，因为目前对弱#代的数学了解还很少。事实上，正如我们将在下一篇中看到的部分，#代与IMH的综合是一致的，但这仍然是一个弱#一代的开放问题。
4.7综合
我们引入了IMH作为宽度最大值的标准，并引入了#-Generation作为宽度最大值的标准。
高度最大值的标准。很自然地看到如何将这些组合成承认两种形式的最大值的单一标准。我们在这方面实现了这一目标综合部分。请注意，IMH意味着不存在无法访问的情况然而#-Generation意味着存在。所以我们不能简单地取合取这两个标准。
#生成的模型M满足IMH#当且仅当句子在a中成立
#生成的M的外部模型也包含在M的内部模型中。
请注意，IMH#与IMH的不同之处在于要求M和M*，外部模型是#生成的（而IMH中考虑的外部模型是随意的）。此要求背后的动机是强制宽度最大化
仅针对那些高度最大的模型。
定理10.[15]假设每个实数都有一个#存在一个实数R，使得任何
#生成的包含R的模型满足IMH#。
证明。(Woodin)令R为具有以下性质的实数：每当X为lightface和非空Π12
实数集，则X在R中具有递归元素。我们声称任何包含R作为元素的#生成的模型M都满足IMH#。
假设Φ在M*中成立，#生成的M外部模型。让(m*，U∗）是一个为M*生成#。然后实数S的集合X使得S编码这样一个(m*，U∗)（生成phi的模型）是光面Π12放。所以有这样一个真正的递归R因而在M中。但是M有一个满足phi的内部模型，即任意由M中X的元素编码的#生成的模型。✷
前一个定理的论证对于IMH#的最弱形式是特殊的。
来自[15]的原始论点，使用#生成的Jensen编码来证明更强原理SIMH#(ω1)的一致性；参见定理15。
推论11.假设phi是一个句子，它在某些Vκ中成立，并且κ可测量。
那么就有一个传递模型，它同时满足IMH#和句子phi。
证明。令R如定理10的证明中所示，并令U为κ的正规测度。
结构N=(H(κ+)，U)是#；通过足够大的序数∞迭代N使得由N生成的下部模型M=LP(N∞)的序数高度为∞。
然后M是#生成的并包含真实的R。因此M是IMH#。此外，由于M是基本链的并集Vκ=Vκ≺VN1κ1≺···
其中phi在Vκ中为真，因此phi在M中也为真。✷
请注意，在推论11中，如果我们将ψ视为任何大基数属性，保持一些Vκ且κ可测量，然后我们获得IMH#模型，其中也满足了这个大基数的属性。这意味着IMH#的兼容性具有任意强的大基数性质。
问题12.使用弱#代重新表述IMH#，如下所示：V是弱的#-生成并且对于每个句子phi，如果表达V的理论有一个外部满足phi且具有α可迭代生成pre-#的模型对于每个α都是一致的，那么phi在V的内部模型中成立。这是一致的吗？
上述弱#代的IMH#公式采用以下形式对于可数V：对于每个可数α和所有phi，V是α生成的，如果phi成立在V的α生成的外部模型中，对于每个可数α，则phi保持在内部V的模型。尚不清楚这是否一致。
评论。#-Generation的更弱形式断言V只是Ord(V)+Ord(V)生成的、足够数量的迭代以获得序数最大值。
然而，IMH与这种非常弱的#代的合成产生了一致的结果与大基数相矛盾的原则（实际上存在#表示任意实数）。这些不同形式的#代及其与IMH的合成，都需要进一步的哲学讨论。
我们现在已经为HP奠定了基础，并讨论了两个最基本的问题极大性原则、#-Generation和IMH。大部分数学工作惠普仍有待完成。
因此我将在剩下的时间里做什么文章只是提出了一系列尚未完全确定的最大值标准分析并给出了惠普打算如何进行的风格。这些标准也称为H公理，表述为元素的属性超宇宙H，可表示为H内的极大性属性。
我确实很欣赏赫尔曼的观点，并且确实会（在很大程度上）采纳
本文采用泽尔梅利安的观点，即高度势能主义与宽度现实主义。
支持这一观点的另一个要点是，尽管我们有一个明确且通过迭代过程生成序数的连贯方式，有目前没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集9
鉴于对高度势能论的采用，我现在将使用符号V
含糊其辞，不是表示所有集合的固定宇宙（它不存在），而是
作为一个变量，范围涵盖泽尔梅尔多重宇宙中的宇宙，其中每个宇宙是下一个等级的初始部分。
尽管我采用了泽尔梅利安的观点，但出于说明的目的，我也将考虑一种在高度和宽度上的潜在主义形式，我将其称为激进潜在主义。HP可以用任一观点来运行。虽然它是激进势能论更简单，有一些有趣的问题（数学和哲学），当采用泽尔梅利安观点时出现，这是值得的探索。
为了描述激进的势能论，让我从不那么激进的东西开始，宽度潜在主义。首先作为动机，考虑柏拉图主义的观点，因此V是固定的所有集合的全域，并考虑强制生成泛型集合的方法。如果M是一个ctm，我们可以使用可数性轻松构建M的通用扩展M[G]
但当然V的通用扩展V[G]不存在，因为我们的“真正的V”有所有的集合。尽管如此，我们可以在V中明确地讨论在这样的情况下什么是真实的
一个通用扩展，实际上在V中没有这样的扩展，通过构造布尔宇宙V
V内的B并在V的一般扩展中取真
V中非零布尔真值的平均值B.因此柏拉图主义的观点实际上是
二元论：它允许理解宇宙中的真理（通用扩展）而不允许这些宇宙实际存在。
宽度势能论是一种观点，在这种观点中，任何宇宙都可以变厚，同时保持相同的序数，甚至达到使序数可数的程度。因此例如
它允许V的通用扩展的存在（现在是一个变量范围在所有可能的宇宙的多重宇宙上），这是柏拉图主义者所禁止的。
因此，对于V的任何序数α，我们可以将V粗化为α可数的全域；即任何序数都是潜在可数的。但这并不意味着每个序数V在V中是可数的，只有在更大的宇宙中才可数。所以这个潜力可数性不会威胁V中幂集公理的真实性。
9但我不能100%确定不可能存在这样一个类似的迭代过程，也许由非常成功的大基数内部模型理论提供。
弗里德曼
现在，激进势能论实际上是宽度势能论和高度势能论的统一。它意味着任何V（在可能宇宙的多重宇宙中）看起来都是可数的
在更大的宇宙中：我们允许V同时变长和变厚。
请注意，即使只是宽度势论（允许宇宙变厚）也会迫使我们也陷入了高度势能主义：如果我们继续加厚以使每个序数V可数，然后在Ord(V)步骤之后，我们也被迫延长以达到满足幂集公理的宇宙。在那个宇宙中，原来的V看起来可数的。但是我们可以对这个新宇宙重复这个过程，直到它也被认为是可数的。身高潜力论的方面是我们无法结束这一切
通过将我们所有的宇宙结合起来进行处理，因为这不是一个模型
ZFC（幂集公理将失败），因此必须延长。笔记
再次强调，V的潜在可数性不会威胁到V中ZFC的公理。
4.4高度和代数的最大值
最大高度分析是HP的第一个重大成功。该程序产生了表达V高度最大值的稳健原理
它似乎涵盖了所有先前的高度最大值原则，包括反射，并构成了V的高度最大值的确定表达式数学术语。
对于我们对高度最大化的讨论，高度潜力论就足够了（激进的不需要潜在论）。因此我们可以选择将V延长至宇宙V＊以V作为初始段。当然我们也可以考虑V的缩写，用它自己的排名初始段之一替换V。现在就让我们利用延长和缩短来制定高度最大化原则
对于V，表达序数序列尽可能长的想法。
但在开始分析最大高度之前，我们应该注意以下各项：没有一阶语句phi足以完全捕获高度最大化。这只是因为V中的一阶语句true将反映到它的排名初始段之一，然后我们自然地从phi引导到更强的一阶陈述“ψ在V和某些传递集合模型中都成立ZFC”。我们还将看到没有一阶语句足以捕获宽度最大化。这是引言中超越一阶主张的一个实例：
与V=L相矛盾的真正的一阶陈述仅作为true的结果出现非一阶公理。
但是我们如何用非一阶公理捕获高度最大值呢？我们的确是
超宇宙计划
这是通过对V与其延长之间的关系进行详细分析得出的起酥油。
标准Lévy反射告诉我们，V的单个一阶性质
参数将保存在包含这些参数的某些Vκ中。这是很自然的将其强化为同时反映V的所有一阶属性一些Vκ，允许来自Vκ的任意参数。因此我们将V反射为Vκ
这是V的基本子模型。
重复这个过程会导致我们得到一个不断增加的、连续的序数序列
（太太|i<∞)，其中∞表示V的序数高度，使得模型(Vκi|i<∞)形成V的基本子模型的连续链Vκ0≺Vκ1≺···
其并集是V的全部。
设C为由κi组成的真类
我们可以应用反射
V和C作为附加谓词来推断(V，C)的属性也成立
一些（Vκ，C∩κ）。但C的无界性是(V，C)的属性，所以我们得到some(Vκ，C∩κ)其中C∩κ在κ中无界，因此κ属于C。
推论，V的属性实际上在某些Vκ中成立，其中κ属于C。
方便地用其反证形式来表达这一点：如果一个属性对于Vκ成立
所有κ在C中，那么它也对V成立。
现在请注意，对于C中的所有κ，Vκ可以延长为基本扩展
（即V），它是排名初始的段。由反证形式
反思前一段，V本身也有这样的加长V∗
但这显然还不是故事的结局。出于同样的原因我们也可以推断存在这种延长的连续递增序列V=Vκ∞≺
在∗κ∞+1≺V∗κ∞+2≺···序数的长度。为了方便表示，我们把∗并写成Wκi而不是V∗
太太
对于∞
但V的延长是哪一塔V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···
我们应该考虑吗？我们能否使这座塔的选择成为规范？
考虑整个序列Wκ0≺Wκ1≺···≺V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···。直觉是所有这些模型在以下方面都相似
他们共享相同的一阶属性的感觉。确实凭借事实上，它们形成了一个基本链，这些模型都满足相同的一阶句子。但同样本着“相似”的精神，以下几点应该成立：
弗里德曼
对于i0
作为一个一元谓词。那么情况应该是任意两个这样的对(Wκi1，Wki0)，(Wkj1，Wkj0)（其中i0
三元组、四元组和n元组通常会出现以下情况：
(*)V出现在连续的基本链中Wκ0≺Wκ1≺···≺V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···长度为∞+∞，其中模型Wκi形成一个强烈不可辨别的链，对于任何n和任何两个递增的n元组
~i=i0
（类似地定义）满足相同的一阶句子，允许来自Wκi0的参数∩Wκj0
我们越来越接近#一代的理想公理。我们当然可以强加我们的模型链上的高阶不可辨别性。例如，考虑一对
型号Wκ0=Vκ0，Wκ1=Vκ1。我们可以要求这些模型满足相同的条件
二阶句子；等价地，我们要求H(κ+0)V和H(κ+1)在满足相同的一阶句子。但与H(κ0)对一样在，H(k1)我们会想要H(κ+0)在，H(先生+1)在满足带有参数的相同一阶句子。
我们该如何表述呢？例如，考虑κ0，H(κ+0)在这是关于H(κ0)的二阶在;我们不能简单地要求H(κ+0)在ψ(k0)当且仅当H(k+1)
Vphi(κ0)，因为κ0是H(κ)中最大的基数。+0)
V但不在H(先生+1)在。相反，我们需要将左侧出现的κ0替换为右侧的“相应”参数，即κ1，导致自然要求H(κ+0)VΦ(κ0)当且仅当H(κ+1)VΦ(κ1)。更一般地说，我们应该能够替换H(κ+0)V由H(κ的“相应”元素+1)在。它使用嵌入来解决这个参数问题是很自然的。
定义1。（参见[10]）
结构N=(N，U)称为具有临界点κ的#，或者仅称为#，如果
以下保留：
(a)N是ZFC−（ZFC减去幂集）的模型，其中κ都是最大的基本且难以接近。
(b)(N，U)是可行的（即x∩UεN对于任何xεN）。
(c)U是(N，U)中κ的正常测量值。
(d)N是可迭代的，即所有以(N，U)开头的连续迭代超幂有充分根据，产生迭代（Ni，Ui)和Σ1基本迭代映射πij：Ni→Nj其中(N，U)=(N0，U0)。
我们让κi表示第i次迭代Ni的最大基数
超宇宙计划
如果N是#并且λ是极限序数，则LP(Nλ)表示(Vκi)在的对于i<λ。（LP代表下部分。）LP(N∞)是ZFC的模型。
定义2.我们说ZFC的传递模型V是#生成的当且仅当有N=(N，U)，a#迭代N=N0→N1→···，使得V等于LP(N∞)
其中∞表示V的序数高度。
#-Generation满足了我们对垂直最大化的要求，并对反思产生了强大的影响。L是#生成的iff0#存在，所以这个原理是兼容的
其中V=L。如果V是通过(N，U)#生成的，则存在基本嵌入从V到V可以通过(N，U)迭代进行规范定义：
上面的符号，来自κi的任何保序映射到κi的延伸到这样的一个基本的嵌入。如果π:V→V是任何这样的嵌入，那么我们不会得到
只有结构H(κ+我)，对于所有i以及结构H(先生+a我)对于任何α<κ0及以上。此外，#一代显然提供了
最大垂直反射量：如果V由(N，U)生成为LP(N∞)
其中∞是V的序数高度，x是进一步迭代中的任何参数
在(N，U)的∗=N∞*，则任意一阶性质ψ(V，x)在V中成立∗反映至ψ(Vκi对于所有足够大的i
L中的这一点通过詹森#生成的编码定义（定理9.1.的[6]）其中指出，如果V是#生成的，则V可以编码为#生成的
模型L[x]对于实数x，其中生成V的给定#扩展到自然数
发电机x
#模型L[x]。
由此我们可以得出结论，#生成的模型具有相同的大基数和当0#存在时L的反射属性。
#-Generation还回答了我们的问题，即在反射中查看V延长的哪个规范塔，即迭代的更下部部分任何生成V的#。这座加长塔与选择无关为V生成#，因此完全规范。和#代完全
认识到V应该看起来与它的许多阶的无限闭合完全一样
初始片段及其任意序数高度的规范延长。
总之，#-Generation脱颖而出，是高度最大化原则的正确形式化，我们将#-生成的模型称为最大
在高度上。它不是一阶的（我们认为没有最佳高度最大值
弗里德曼
原理可以是），但是它是二阶的，但方式非常受限制：对于可数V，作为生成V的#的属性可以通过量化来表达
普遍适用于模型Lα(V)，因为α范围涵盖可数序数。
4.5宽度最大值和IMH
而在高度极大的情况下，我们可以使用高度势能论（即将V延长到更高宇宙的选项）以达到最佳原则，宽度最大的情况具有非常不同的性质。与身高不同最大值，我们会看到宽度最大值有许多不同的标准并且不会轻易得出最优标准。此外，为了获得一个公平的画面
高度和宽度都最大化，需要综合或统一宽度
具有#-Generation的最大值标准，最佳高度最大值标准。
彻底分析不同可能的宽度最大值标准及其与#代的综合，旨在达到最佳标准，是超宇宙计划的主要目标。
我将从激进势能论背景下讨论宽度极大性开始，因为这提供了比泽尔梅利安观点提供的理论更简单的理论。
因此，我们使用符号V作为变量，其范围不超过泽尔梅尔多元宇宙（其中宇宙按等级初始段的关系排序），但超越激进势能主义提供的丰富多元宇宙的元素，其中每个元素宇宙是潜在可数的。我们从基础开始：
内部模型假设（IMH，[12]）如果一个一阶句子在某些外部成立V的模型，那么它在V的某个内部模型中成立。
对于当前的演示，我们可以将外部模型表示为传递集
在∗包含V，与V具有相同的序数，满足ZFC。内部模型本演示中是V的V可定义子类，其序数与V相同，其中满足ZFC。根据激进势能论，ZFC的任何传递模型都是可数的，一个更大的这样的模型，从中我们可以推断出存在丰富的集合V的外部模型。
#代的一致性源自0#的存在。但是IMH的一致性，即存在满足IMH的宇宙V的断言，需要更多。
IMH的一致性
超宇宙计划
定理3.([18])假设大基数存在可数传递性ZFC的模型M，使得如果一阶句子phi在以下模型的外模型N中成立
那么M的内部模型也成立。
证明。对于任何实数R，让M(R)表示ZFC的最小传递模型，其中包含R.我们假设有大基数，所以确实存在这样的M(R)（存在仅仅一个不可访问的就足够了）。我们需要以下结果
大基数：
(*)存在一个实数R，对于任何实数S，其中R是递归的，（一阶）M(R)的理论与M(S)的理论相同。
我们可以从大基数导出(*)，如下所示。大基数产生投射决定性（PD）。马丁定理是PD蕴涵以下Cone定理：如果X是在图灵等价下封闭的实数射影集，那么对于某个实数R，对于所有实数S（其中R是递归的），或者S属于X，或者S属于对于所有实数S（其中R是递归的）X的补集。
现在对于每个句子phi考虑由那些实数R组成的集合X(phi)M(R)满足phi。该集合是射影的并且在图灵等价下是封闭的。
根据圆锥定理，我们可以选择一个实数R(ψ)，使得ψ在M(S)中为真，所有实数S，其中R(phi)是递归的，或者这对于∼phi成立。现在让R为任意实数其中每个R(phi)都是递归的；因为只有可数个phi，这是可能的。
然后R见证了属性(*)。
我们声称如果N是M(R)满足ZFC的外模型并且是一个句子，在N中为真，则phi在M(R)的内部模型中为真。为此，我们需要以下内容
詹森深度定理。
编码定理（参见[6]）令α为N的序数高度。则N有一个外层对于某些实数S，其形式为Lα[S]的模型满足ZFC，其中N为Δ2-可通过参数定义。
由于R属于M(R)，因此它也属于N，因此也属于Lα[S]，其中S将N编码为多于。另请注意，由于α最小，因此M(R)=Lα[R]模型ZFC，因此它也是至少使得Lα[S]满足ZFC，因此Lα[S]等于M(S)。
显然，我们可以选择S成为R之上的图灵（只需将S替换为与R）。但现在根据R的特殊性质，M(R)和M(S)的理论是相同的。由于N是M(S)的可定义内模型，因此M(S)的部分理论是
弗里德曼
陈述“有一个Φ的内部模型，它可以用参数Δ2定义”
因此，根据需要，存在满足phi的M(R)内部模型。✷
请注意，我们上面为IMH、M(R)生成的模型对于某些实际情况R是包含真实R的最小模型，因此满足“不存在难以接近的红衣主教”。这并非偶然：
定理4。[12]假设M满足IMH。那么M中：没有不可访问的基数，事实上存在一个实数R，使得不存在传递性包含R的ZFC模型。
证明。Beller和David的定理（也在[6]中）扩展了Jensen的编码定理说任何模型M对于某个实数R都有一个形式为M(R)的外部模型，其中如上M(R)是包含R的ZFC的最小传递模型。现在假设M满足IMH并考虑句子“不存在不可访问的红衣主教”。这在M的外部模型M(R)中是正确的，因此在内部模型中也是如此M的。由此可见，M中不存在不可访问的地方。与句子“存在一个真实的R，使得不存在包含ZFC的传递模型
R”给出了M的内部模型M0，对于某些实数R具有此属性；但随后也
M具有此属性，因为M中包含R的任何ZFC传递模型也会在M的L[R]中给出这样的模型，因此在M0中给出这样的模型，因为M0包含L[R]M.✷
由此可见，如果M满足IMH，则M中的某些实数没有#，因此粗体Π11确定性在M中失败（尽管0#确实存在且lightfaceΠ11确定性确实成立）。
宽度现实主义
到目前为止，我已经在激进势能论的背景下提出了IMH，使我们能够自由地讨论宇宙V的外部模型（增厚）。这是当然，对于宽度现实主义者来说这是不可接受的，他们认为Vα具有固定的含义每个序数α（尽管可能是一个不固定的、潜在的关于序数的观点是）。尽管如此，是否有可能谈论V的宽度最大值
宽度现实主义者的观点（其中V现在是一个范围在Zermelian多元宇宙）？我们能否表达V尽可能厚的想法，而不需要实际将V与更厚的宇宙（不存在）进行比较？
通过对V逻辑的研究，得出了对后一个问题的肯定答案，接下来我将介绍这一点。Barwise的书[5]是该材料的有用参考。
超宇宙计划
V逻辑
让我们从更简单的Vω逻辑开始。在Vω逻辑中，我们有用于a∈Vω的常量符号́a以及常量符号V̊ω对于Vω本身（除了ε和一阶逻辑的其他符号）。然后是通常的逻辑公理和规则
在ModusPonens中，我们添加了规则：
对于aεVω：从phi(¯b)对于每个b∈a推断∀x∈aphi¯(x)。
从phi(¯a)对于每个a∈Vω推断∀x∈V¯ωφ(x)。
引入第二条规则会通过证明生成新的可证明陈述
现在是无限的。Vω-logic的思想是捕捉模型的思想，其中Vω为标准。根据ω-完备性定理，逻辑上可证明的句子Vω逻辑正是在每个模型中都成立的逻辑，其中¯a被解释为a对于a∈Vω和V́ω被解释为（实数，标准）Vω。因此理论T在Vω-logic与Vω-logic是一致的，当且仅当它有一个模型，其中Vω是真实的、标准的Vω。
现在，Vω-逻辑中逻辑上可证明的公式（即有效性）的集合，与在一阶逻辑中，不是算术的，即它不能在模型Vω上定义。
相反，它可以在更大的结构（Vω的延长）上定义。让我解释。
由于Vω逻辑中的证明不再是有限的，因此它们自然不属于Vω。
相反，它们属于最小允许集(Vω)+包含Vω作为元素，这被高级递归理论家称为LωCK1，其中ωCK1是最小非递归序数。一些非常好的事情发生了：而一阶逻辑的证明属于Vω，因此可证明性是Σ1在Vω上可定义（存在一个证明是Σ1)，Vω-逻辑中的证明属于(Vω)+且可证明性是Σ1可在(Vω)上定义+
就我们目前的目的而言，要点是(Vω)+是加长，不是加厚
Vω的长度，在这种延长中，我们可以制定描述任意的理论，以Vω为标准的模型。例如，存在一个实数R，使得(Vω，R)满足一阶性质，可以表示为
Vω-逻辑中的理论。由于结构(Vω，R)可以看作是“增厚”
对于Vω，我们已经通过以下理论描述了Vω“增厚”时可能发生的情况
(Vω)+，Vω的延长。如果我们不是从Vω开始而是从Vω开始，这会更加戏剧化与(Vω)+=错误CK1并引入LωCK1-logic，确保递归的逻辑
序数词是标准的。然后在延长(LωCK1)Lω的+CK1，最少允许的包含Lω的集合CK1
作为一个元素，我们可以表达增厚的存在
弗里德曼
错误CK1
其中一阶陈述成立，并且这种加厚可以包含新的实数和更多元素。
V-logic与上面类似。它有以下常量符号：
1.V中每个集合a的常数符号¯a。
2.一个常数符号V¯来表示宇宙V。
公式以通常的方式形成，就像任何一阶逻辑一样。到平常的一阶逻辑的公理和规则我们添加新规则：(*)由ψ(́b)对于所有b∈a推断∀x∈á́(x)。
(**)从所有a∈V的phi(¯a)推断∀x∈Vphi¯(x)。
这是描述以V为标准的模型的逻辑。这个逻辑的证明出现在V+，包含V作为元素的最小允许集合；这个结构V+是Lα(V)形式的V的特殊延长，即哥德尔L层次结构的第α层立在V之上。我们将这种延长称为哥德尔延长。回想一下，与我们的身高潜力论观点，我们可以将V延长为模型V＊以V为等级初始段，因此肯定将V延长到哥德尔延长V+
（从高度现实主义者的角度来看也是如此，只要我们允许我们满足MK(Morse-Kelley)的类，就像在MK中我们可以构造一个类编码在+.)
宽度现实主义者的内部模型假设
作为宽度现实主义者，我们不能直接谈论外部模型，甚至不能直接谈论集合不属于V。然而，使用V逻辑我们可以间接地讨论它们，正如我现在将说明的那样。考虑V逻辑中的理论，其中我们不仅有常数符号¯a表示V的元素，常量符号V´表示V本身，但也可以是常数符号W表示V的“外部模型”。我们添加新的公理：
1.宇宙是ZFC（或者至少是较弱的KP，可接受性理论）的模型。
2.W´是ZFC的传递模型，包含V´作为子集并且具有相同的序数词为V。
所以现在当我们采用遵循V逻辑规则的公理模型时，我们得到宇宙建模ZFC（或至少KP），其中V被正确解释为V
W被解释为V的外部模型。请注意，V逻辑中的这个理论有没有“加厚”V的情况下被制定，实际上它是在V内部定义的+，最少包含V的容许集合，V的哥德尔延长。后者再次有道理
感谢我们采用高度（而不是宽度）势能论。
那么对于宽度现实主义者来说，IMH到底说了什么？它说如下：
IMH：假设phi是一阶句子，并且上述理论，一级公理“W满足phi”在V逻辑中是一致的。那么phi的内模型成立在。
换句话说，不是直接谈论V的“加厚”（即“外层”）模型”）我们反而谈论用V逻辑表述的理论的一致性并在V中定义+，V的（温和）哥德尔延长。
请注意，这也提供了可定义性引理的强大扩展用于强制设置。后者说，在V中我们可以明确地表达这样一个事实：
带参数的句子保存在“集合通用扩展”中（对于有界的句子复杂性，例如固定n的Σn句子）。上图表明我们可以做到
对于V的任意“加厚”也是如此，但是可定义性发生在哪里
不是在V而是在V+。（在全知宇宙V的情况下，我们实际上可以获得V的可定义性，并且在温和的大基数假设下，V将是无所不知的。
对此的讨论请参见第4.11小节。）
到目前为止，我们已经研究了V、它的延长和“加厚”（通过理论）
以其延长表示）。接下来我们进行重要的一步，那就是减少这个讨论是为了研究可数传递模型的某些属性ZFC，即超宇宙（ZFC的可数传递模型的集合）。
这种减少的净效应是表明我们的宽度现实主义讨论
极大性实际上相当于一种激进的势能论讨论，其中所有正在考虑的模型属于超宇宙。
4.6超宇宙的还原
当然，去掉“thickenings”中的引号会舒服得多
V的，因为我们可以省去重新表述我们的直觉的需要通过V逻辑理论的外部模型。确实，如果我们要进行这样的讨论
不是关于V而是关于可数传递ZFC模型Little-V，那么我们的担忧蒸发，因为真正的增稠剂变得可用。例如，如果P是一个强迫，如果我们知道little-V中的概念，那么我们肯定可以构建一个P-通用扩展来获得little-V[G]。
当然，我们不能对V本身执行此操作，因为通常我们无法构造泛型集
对于具有无数个最大反链的偏序。
但是我们用V逻辑分析事物的方式使我们能够减少对可数传递模型研究中V的极大标准。作为收藏可数传递模型的名称为“超宇宙”，然后我们就会得到所谓的超宇宙计划。
我将用具体的例子来说明超宇宙的简化
IMH。假设我们使用V逻辑制定如上所述的IMH，并且想要知道它会产生什么一阶后果。
引理5.假设一阶句子ψ在所有可数模型中成立IMH。然后它适用于IMH的所有型号。
证明。假设phi在IMH的某个模型V中失败，其中V可能是不可数的。现在请注意，IMH可以用V一阶表示+，V的延长。
但然后应用向下的Löwenheim-Skolem定理来获得可数满足IMH的Little-V，已在其相关的Little-V中验证+，但未能满足ψ。但这是一个矛盾，因为根据假设ψ必须在所有可数中成立IMH的模型。✷
因此，在不失一般性的情况下，当考虑V逻辑中表述的最大值标准的一阶结果时，我们可以将自己限制为可数的小V。这样做的好处是我们可以省去小V逻辑和完全引用“加厚”，如小V的完备性定理-逻辑，小V逻辑中的一致理论确实有模型，这要归功于可数性小V的。因此，对于可数的小V，我们可以简单地说：
IMHforlittle-V's：假设一阶句子在以下模型中成立：
小V。然后它保存在Little-V的内部模型中。
这正是我们开始时的IMH的激进势能主义版本。
因此，IMH的宽度现实主义和激进势能主义版本是一致的可数模型。
#-一代人重温
然而，将极大性原则简化为超宇宙并不是总是如此明显，正如我们现在将在#-Generation的情况中看到的那样。这揭示了
超宇宙计划
HP发展的差异形成了Zemelian观点与激进的潜在主义观点。
首先考虑以下令人鼓舞的类比，适用于我们早期的#一代
IMH减免申请。
引理6.假设一阶句子ψ在所有可数模型中成立，是#生成的。然后它适用于#生成的所有模型。
证明。假设phi在某些#生成的模型V中失败，其中V可能是不可数的。设(N，U)为V的生成#，并将V和(N，U)放入其中，ZFC减去幂集T的一些传递模型。现在将Löwenhiem-Skolem应用于T产生一个可数传递性T，其中有一个V，T认为是由(N，´U´)生成，将T´基本嵌入到T中，将V´发送到V并(N，U)到(N，U)。但事实是(N，U)是可迭代的并且(N，´U´)被嵌入到(N，U)足以得出结论：(N，´U´)也是可迭代的。所以我们现在有一个可数的V，它是#生成的（通过(N，¯U)），其中phi失败，这与假设相反。✷
然而困难在于：我们如何从宽度表达#-Generation
现实主义的观点？回想一下，要为V生成生成#，我们必须产生一组小于Ord(V)且不属于V的秩，违反了宽度现实主义。
回想一下，#是满足某些一阶条件的结构(N，U)另外，它是可迭代的：对于任何序数α，如果我们迭代(N，U)α步，则它仍然是有充分根据的。如果有#生成V，则V是#生成的。但请注意，为了表达V的生成#的可迭代性，我们必须考虑理论Tα在Lα(V)逻辑中表述，用于V的任意哥德尔延长Lα(V)：Tα断言V是由pre-#生成的（即由看起来像#的结构生成）
但可能不是完全可迭代的），它是α-可迭代的，即可迭代α-步。因此我们没有固定的理论来捕捉#一代人，而只有一座理论塔
Tα（当α的范围超过V的高度的序数时），捕获越来越近对其的近似值。
定义7.如果对于每个超过V高度的序数α，V是弱#生成的，理论Tα表达了α-iterablepre-#的存在，它生成V是一致的。
弱#代对于宽度现实主义者来说是有意义的（他们接受足够的获得哥德尔延长的高度势能论），因为它完全用术语表达V的哥德尔延长的内部理论。
对于可数的小V，弱#代可以在语义上表达。第一的一个有用的定义：
定义8.设little-V为ZFC的可数传递模型，α为序数。
如果存在一个生成little-V的α-iterablepre-#，则little-V是α生成的
（作为其第一个γ迭代的下部部分的并集，其中γ是序数高度小V）。
然后，如果每个小V都是α生成的，那么它就是弱#生成的
可数序数α（对此的见证可能取决于α）。小V是#-生成iff当α=ω1时它是α生成的iff它对于所有序数都是α生成的A。
正如#-的宽度现实主义公式需要句法方法一样代，将这种弱化形式的#-代还原为超宇宙采用语法形式：
引理9.假设一阶句子phi在所有可数小V中成立
这是弱#生成的，这在ZFC中得到了证明。那么ψ在所有的情况下都成立弱#生成的模型。
证明。令W为弱#生成模型（可能是不可数）。因此对于W高度以上的每个序数α，理论Tα+∼phi表示phi
W中的失败与W是由α-iterablepre-#生成的一致。如果我们选择α那么
Lα(W)是ZFC的模型（或者足够的ZFC，其中phi的真值可数为#生成的模型可证明）那么Lα(W)是（足够的）ZFC的模型，其中W是弱#生成的。应用Löwenheim-Skolem获得可数的W和ά使得Lα̂(Ŵ)基本嵌入到Lα(W)中，因此满足（足够of)ZFC加上“W是弱#生成的”。现在让g对于Lα̅(W̅)是泛型的W¯（的高度）到ω的Lévy塌缩；那么Lα̅(W̅)[g]是一个模型（足够of)ZFC，其中W是可数的并且是弱#生成的。通过假设Lά(W)[g]满足“Ŵ满足́”，因此W确实满足́。最后，根据需要，W也满足phi。✷
总结一下：作为激进的潜在主义者，我们可以轻松地与完整的#-一代作为我们的高度最大化原则。但作为宽度现实主义者，我们相反，使用弱#代，以V的哥德尔延长Lα(V)内的理论表示。弱#代足以最大化宇宙的高度。正确表述后，超宇宙的还原适用于弱#-Generation：推断一阶语句来自弱#-Generation
足以表明，在ZFC中，我们可以证明它在所有弱#生成的情况下都成立
可数模型。
对于可数而言，弱#-Generation确实严格弱于#-Generation
models:假设0#存在，选择α最小，使得α为第α个Silver
不可辨别（α是可数的）。现在让g在L上泛型，Lévy将α折叠为ω。那么根据Lévy绝对性，Lα在L[g]中是弱#生成的，但不能#-在L[g]中生成为0#不属于L的通用扩展。
在下文中，我将主要使用#代，因为目前对弱#代的数学了解还很少。事实上，正如我们将在下一篇中看到的部分，#代与IMH的综合是一致的，但这仍然是一个弱#一代的开放问题。
4.7综合
我们引入了IMH作为宽度最大值的标准，并引入了#-Generation作为宽度最大值的标准。
高度最大值的标准。很自然地看到如何将这些组合成承认两种形式的最大值的单一标准。我们在这方面实现了这一目标综合部分。请注意，IMH意味着不存在无法访问的情况然而#-Generation意味着存在。所以我们不能简单地取合取这两个标准。
#生成的模型M满足IMH#当且仅当句子在a中成立
#生成的M的外部模型也包含在M的内部模型中。
请注意，IMH#与IMH的不同之处在于要求M和M*，外部模型是#生成的（而IMH中考虑的外部模型是随意的）。此要求背后的动机是强制宽度最大化
仅针对那些高度最大的模型。
定理10.[15]假设每个实数都有一个#存在一个实数R，使得任何
#生成的包含R的模型满足IMH#。
证明。(Woodin)令R为具有以下性质的实数：每当X为lightface和非空Π12
实数集，则X在R中具有递归元素。我们声称任何包含R作为元素的#生成的模型M都满足IMH#。
假设Φ在M*中成立，#生成的M外部模型。让(m*，U∗）是一个为M*生成#。然后实数S的集合X使得S编码这样一个(m*，U∗)（生成phi的模型）是光面Π12放。所以有这样一个真正的递归R因而在M中。但是M有一个满足phi的内部模型，即任意由M中X的元素编码的#生成的模型。✷
前一个定理的论证对于IMH#的最弱形式是特殊的。
来自[15]的原始论点，使用#生成的Jensen编码来证明更强原理SIMH#(ω1)的一致性；参见定理15。
推论11.假设phi是一个句子，它在某些Vκ中成立，并且κ可测量。
那么就有一个传递模型，它同时满足IMH#和句子phi。
证明。令R如定理10的证明中所示，并令U为κ的正规测度。
结构N=(H(κ+)，U)是#；通过足够大的序数∞迭代N使得由N生成的下部模型M=LP(N∞)的序数高度为∞。
然后M是#生成的并包含真实的R。因此M是IMH#。此外，由于M是基本链的并集Vκ=Vκ≺VN1κ1≺···
其中phi在Vκ中为真，因此phi在M中也为真。✷
请注意，在推论11中，如果我们将ψ视为任何大基数属性，保持一些Vκ且κ可测量，然后我们获得IMH#模型，其中也满足了这个大基数的属性。这意味着IMH#的兼容性具有任意强的大基数性质。
问题12.使用弱#代重新表述IMH#，如下所示：V是弱的#-生成并且对于每个句子phi，如果表达V的理论有一个外部满足phi且具有α可迭代生成pre-#的模型对于每个α都是一致的，那么phi在V的内部模型中成立。这是一致的吗？
上述弱#代的IMH#公式采用以下形式对于可数V：对于每个可数α和所有phi，V是α生成的，如果phi成立在V的α生成的外部模型中，对于每个可数α，则phi保持在内部V的模型。尚不清楚这是否一致。
评论。#-Generation的更弱形式断言V只是Ord(V)+Ord(V)生成的、足够数量的迭代以获得序数最大值。
然而，IMH与这种非常弱的#代的合成产生了一致的结果与大基数相矛盾的原则（实际上存在#表示任意实数）。这些不同形式的#代及其与IMH的合成，都需要进一步的哲学讨论。
我们现在已经为HP奠定了基础，并讨论了两个最基本的问题极大性原则、#-Generation和IMH。大部分数学工作惠普仍有待完成。
因此我将在剩下的时间里做什么文章只是提出了一系列尚未完全确定的最大值标准分析并给出了惠普打算如何进行的风格。这些标准也称为H公理，表述为元素的属性超宇宙H，可表示为H内的极大性属性。
温馨提示：按 回车[Enter]键 返回书目，按 ←键 返回上一页， 按 →键 进入下一页，加入书签方便您下次继续阅读。