玄宇宙计划（3）
4.8强IMH
我们对IMH的讨论始终是关于没有参数的句子。如果我们引入参数，就会产生更强的形式。
首先注意将参数引入IMH的困难。例如
该声明
“如果一个带有参数ω的句子在1在V的外模型中成立，那么它在内模型”
不一致，因为参数ω在1外部模型中可以变得可数并且因此上述对于句子“ω在1是可数的”。如果我们然而要求ω1被保留，那么我们就得到了一致原理。
定理13.设SIMH(ω1)为以下原理：如果一个带有参数的句子
ω1在保留ω1的外部模型中成立，然后在内部模型中成立。然后SIMH(ω1)是一致的（假设基数很大）。
证明。再次使用PD得到实数R，使得M(S)的理论，最小传递性包含S的ZFC模型对于R之上的所有S图灵来说是固定的。现在假设phi(ω1)是M(R)的ω1保留外模型N中的句子为真，其中ω1表示M(R)的ω1。那么就像IMH的一致性证明一样，我们可以将N编码为M(S)对于R之上的某个实S图灵，而且这种编码是ω1保留的。
由于phi(ω1)在M(S)的可定义内模型中成立，并且ω1在M(R)中是相同的，并且M(S)，由此可知M(R)也有满足phi(ω1)的内模型。✷
上述论点利用了Jensen编码保留ω1的事实。这是然而，除非CH成立，否则ω2不保持，因此我们有以下
开放式问题：
问题14.设SIMH(ω1，ω2)为以下原则：如果一个带有参数ω1，ω2的句子在ω1保留和ω2保留的外模型中成立，那么它成立在内部模型中。那么SIMH(ω1，ω2)是否一致（假设基数很大）？
SIMH(ω1，ω2)意味着CH失败，因为任何模型都具有基数保留外部模型，其中有从ω2到实数的注入。有类似的吗
M∗
不满足CH的最小模型M(R)的(R)？有编码吗
定理表明M*的任何外部模型
(R)保留ω1和ω2有M*形式的进一步外部模型(S)，也具有相同的ω1和ω2？如果是这样，那么我们可以建立SIMH(ω1，ω2)的一致性。
SIMH最通用的形式使用绝对参数。如果某个公式在保留的所有外部模型中定义了参数p，则该参数p是绝对的基数达到并包括p的遗传基数，即p的传递闭包。那么绝对参数p的SIMH(p)表明如果带有参数p的句子保存在保留基数向上的外部模型中到p的遗传基数，则它在内部模型中成立。完整的SIMH（强内模型假设）指出这对于每个绝对参数都成立p。
SIMH与莱维绝对性的增强密切相关。例如，
将Lévy(ω1)定义为带有参数ω1的Σ1公式是绝对值的陈述，对于ω1保留的外部模型；这是从SIMH(ω1)得出的，因此是持续的。但Lévy(ω1，ω2)的一致性，即Σ1与参数的绝对性
保留这些基数的外部模型的ω1、ω2是开放的。
SIMH#
具有#代的SIMH的综合可以表述如下：V
如果V是#生成的并且每当句子phi具有绝对值时，则满足SIMH#
参数保存在#生成的外部模型中，其基数与Vup相同
对于这些参数的遗传基数，phi也适用于五。一个特殊情况是SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的参数是ω1，我们只关心ω1保留的外部模型。
定理15。[15]假设大基数，SIMH#(ω1)是一致的。
证明。假设有一个伍丁红衣主教，上面有一个不可访问的。对于每个实数R令M#(R)为Lα[R]，其中α最小，因此Lα[R]是#生成的。伍丁上面不可访问的基数意味着有足够的投射确定性来启用
我们使用马丁引理来找到一个实数R，使得M#(S)的理论是常数对于STuring-aboveR。我们声称M#(R)满足SIMH#(ω1)：事实上，令M为#生成的ω1保留M#(R)的外部模型，满足某个句子phi(ω1)。
令α为M#(R)的序数高度（=M的序数高度）。从结果来看，之前引用的Jensen的观点（[6]的定理9.1），M有一个#生成的ω1保留
对于一些实S，且R≤TS，外模型W的形式为Lα[S]。当然α是最小的
因此Lα[S]是#生成的。所以W等于M#(S)并且W的ω1等于ω1M#(R)。通过R的选择，M#(R)也有一个可定义的内模型，满足ψ(ω1).✷
然而，与SIMH(ω1，ω2)一样，SIMH#(ω1，ω2)的一致性是开放的。
4.9极大值协议
该协议旨在将高度和宽度最大值的研究组织为三个阶段。
第1阶段。最大化序数（高度最大值）。
第2阶段。最大化序数后，最大化基数。
第3阶段。最大化序数和基数后，最大化幂集（宽度最大）。
第1阶段由#代负责。所以我们现在关注第二阶段，即基数最大化。
根据第一阶段，我们现在假设V是#生成的，并且在讨论时，V的外部模型我们只考虑那些也是#生成的模型。
我们想要一个标准，它表示对于每个基数κ，κ+一样大
尽可能。首先，让我们考虑κ=ω的情况，因此我们想要最大化ω1。当然，基本问题如下。作为#-的集合通用扩展生成的模型也是#生成的：
事实。V有一个#生成的外部模型，其中ω在1是可数的。
但我们肯定想要这样的东西：ωL[x]1
对于每个实数x都是可数的。
这样做的原因是ωL[x]1，与ω不同在1，一般来说，在V和所有的之间是绝对的
它的外部模型。
定义16.令p为V中的一个参数，P为V中的一组参数。然后如果存在参数来自P的公式phi，则p相对于P是强绝对的
定义V中的p以及所有#生成的V保留基数的外部模型
直到并包括中提到的参数的遗传基数
10
通常我们会取P由某个无限基数κ的所有子集组成，在这种情况下，上述定义中的基数保留指的是基数最多并包括κ。
k最大(κ+)（对于κ来说是无限基数）。假设序数α是强的
相对于κ子集的绝对值。那么α的基数最多为κ。
可以证明，如果κ是正则的，则在哪个CardMax(先生+)成立。
问题17.CardMax是否一致，其中CardMax表示CardMax(κ+)为所有无限基数κ，无论是正则基数还是奇异基数？
内部基数极大性
实现基数极大性的另一种方法是将V的基数与那些相关联其内部模型。两个大的内部模型是HOD，遗传性的阶级
序数可定义集，以及较小的内部模型S，即[13]的稳定核心。V是每个模型的类通用性。
令M表示内部模型。
M-基本违规。对于每个无限基数k，k+大于κ+M。
在[9]中表明HOD-基数违规是一致的。我们能否加强
这？
问题18.对于每个无限基数κ，κ是否一致+无法访问，HOD中可测量甚至超紧凑？这与HOD替换为一致吗
稳定核心S？
Shelah的结果表明，对于某些固定的情况，κ的所有子集都属于HODx，当κ是不可数共尾性的奇异强极限基数时，κ的子集x。
根据[8]，这在可数共尾性上不一定成立。
问题19.对于每个无限基数κ，κ是否一致+大于K+Sx（相对于x的稳定核心）对于κ的每个子集x？
10我们感谢一位裁判指出早期版本的基数极大性
较弱的参数绝对性假设是不一致的。类似的现象与弱绝对参数出现在[18]的定理10中。
HOD和S之间的一个主要区别是，虽然任何集合都是集合通用的，HOD，S的情况并非如此。
问题20.对于每个无限基数κ，κ的某个子集是否一致+对于κ的任何子集x来说，Sx不是集合通用的吗？
对这三个问题中任何一个的积极回答都会产生强大的内部影响力。
V的基数极大原则。
第三阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集。
这是我们重新审视SIMH的地方，但仅限于#代和基本保存。再次假设V是#生成的。
如果存在无参数公式，则V中的参数p是基数绝对的
在V的所有#生成的外部模型中定义p，这些模型与V具有相同的基数。
SIMH#(CP)（保留基数SIMH#）。假设p是绝对基数参数，V∗
是#生成的V的外部模型，与V和具有相同的基数
是一个带有参数p的句子，它在V中成立∗。那么ψ在内模型中成立V的。
问题21.SIMH#(CP)是否一致？
请注意，SIMH#(CP)意味着CH的严重故障。
4.10宽度不可辨
极大协议的替代方案（理想情况下应与它）是宽度不可辨别性。动机是提供V宽度的描述
类似于#-Generation提供的高度描述。
回想一下，通过#-Generation，我们得出以下结论：
V0≺V1≺···≺V=V∞≺V∞+1≺···
其中i
是Vj的排名初始段。此外，型号Vi
形成一个强烈意义上的难以辨别的模型的集合。这张照片的结果是从高度反射开始的分析，首先是V必须有无限多个初始段Vi，它们是V中的基本段。
类似地，我们引入宽度反射。我们想说V有正确的内部模型是“V中的基本模型”。当然，这不可能是字面上的意思正确，就好像V0是V的基本子模型，其序数与V相同，那么它是容易看出V0等于V。相反，我们使用基本嵌入。
宽度反射。对于每个序数α，都有一个适当的基本子模型H
V使得Vα⊆H且H是服从的，即H∩Vβ对于每个序数都属于Vb
同等效果：
宽度反射。对于每个序数α，都有一个不平凡的基本嵌入
j:V0→V，临界点至少为α，使得j是可以接受的，即j↾(Vβ)
V0
对于每个序数β都属于V。
如果存在一个不平凡的服从j：V0→V，如第二个所示，我们写V0
宽度反射的公式。这种关系是传递性的。
命题22.(a)如果V0
(b)宽度反射相对于拉姆齐基数的存在是一致的。
证明。(a)这是根据库南定理得出的，即不存在非平凡的
从V到V的基本嵌入。
(b)假设κ是拉姆齐。那么可以得出以下形式的任何结构
M=(Vκ，ε，...)具有无界的不可辨别集合，即无界子集
I的κ使得对于每个n，来自I的任意两个递增n元组满足相同的条件
M中的公式。现在将其应用于M=(Vκ，ε，<)，其中<是Vκ的良序
长度κ。令J为I的任意无界子集，使得I\\J为无界且对于任意α<κ，设H(J∪α)表示M中J∪α的Skolem壳。则H(J∪α)为Vκ的基本子模型，不等于Vκ，因为I\\J中没有元素
大于α就属于它。由于Vκ包含κ的所有有界子集，因此可以得出以下结论
H(J∪α)是可行的。✷
上面(b)中的参数的一个变体产生任意长的一致性
有限链V0
问题23.长度Ord+1的V0
Vi的联盟等于V吗？
后者将是制定一致的标准的良好开端。
宽度不可辨别性，类似于宽度最大值的标准
#-Generation提供的高度最大值。
4.11全知
通过OMT(V)，即V的外模型理论，我们指的是具有V中的任意参数在V的所有外部模型中都成立。我们已经看到使用V逻辑，OMT(V)可在V上定义+。然而对于许多宇宙V，OMT(V)实际上是V上的一阶可定义的。据说这些宇宙是无所不知。
回想一下塔斯基关于真理的不可定义性的结果的以下版本：
命题24.参数来自V且在V中成立的句子集合为
在V中不能用参数（一阶）定义。
然而令人惊讶的是，麦克·斯坦利证明了OMT(V)确实可以是V-可定义的。
定理25.(M.Stanley[30])假设在V中存在一个真类可测基数，并且该类实际上是V+-平稳，即Ord(V)是正则的，相对于V+-可定义函数，此类与Ord(V)中的每个俱乐部相交
这是V+-可定义。那么OMT(V)是V可定义的。
证明。使用V逻辑，我们可以翻译这样的陈述：一阶句子phi
（参数来自V）在V的所有外部模型中都适用于句子的有效性∗
在V逻辑中，可以通过V表达的事实
+由Σ1句子组成。使用这个我们表明V的所有外部模型中都成立的phi集合是V可定义的。
由于Ord(V)相对于V是正则的
+-可定义的功能我们可以组建一个俱乐部
Ord(V)中的C，使得对于C中的κ，存在来自Hyp(Vκ)的Σ1基本嵌入
进入V+（具有临界点κ，将κ发送到Ord(V)）。事实上C可以选择为在+-可定义。
对于C中的任意κ令phi∗
κ是Vκ逻辑的句子，使得phi在所有外部都成立Vκ当且仅当phi的模型∗K
有效（Hyp(Vκ)的Σ1属性）。通过基本性，phi∗K
已验证
当且仅当
∗
已验证。
现在假设phi在V的所有外部模型中都成立，即phi∗
已验证。那么ψ∗K是对于C中的所有κ均有效，并且由于可测量值形成V
+-固定类，有一个可测量κ使得phi∗K
已验证。
相反，假设ψ∗K
对于某些可测量的κ是有效的。现在选择正常的
测量κ上的U并迭代(H(κ+)，U)用于Ord(V)步骤以获得有根据的结构（H*，U*)。（这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何A中的测量可以迭代，而不会失去α步骤的有根据性，对于任何A中的序数α。）然后H*等于Hyp(V∗）对于一些V＊⊆V。根据基本原理，句子ψ
∗V∗断言phi在V的所有外部模型中都成立∗
已验证。但作为
在∗是V的内部模型，phi也适用于V的所有外部模型。
因此，如果对于某个可测量的κ属于OMT(Vκ)，则phi恰好属于OMT(V)，并且这是一阶可表达的。✷
全知需要可测量的基数吗？事实上，斯坦利能够
只使用拉姆齐红衣主教，但就全知的一致性而言，我们有
下列的：
定理26.([16])假设κ不可访问且GCH成立。然后有
Vκ[G]形式的全知模型，其中G是V的泛型。此外，Vκ[G]带有可定义的井序。
全知证明可以用任意的外在来对待真理
以类似于集合泛型扩展中的真值的方式进行内部建模
使用集合强制的标准可定义性和真值引理来处理。事实上，情况甚至更好，因为整个外模型理论是一阶可定义的，不仅仅是该理论对有限复杂性句子的限制，强制设置的情况。（主要区别在于，在强制设置的情况下，地面模型V在其集合通用扩展中是统一可定义的，因此完整的OMT(V)不能由命题24在V中一阶可定义。全知V出于同样的原因，不能在其任意外部模型中统一定义。）
另请注意，根据定理25，全知与#代可以很好地综合：
我们只需要使用具有足够多可测量基数的模型。
4.12惠普的未来
我们已经讨论了类型1的证据，它来自集合论作为集合论的一个分支数学，以及类型2的证据，来自集合论作为基础的作用，对于数学。在第一种情况下，证据是根据其对集合论数学发展的价值来判断的，在第二种情况下，证据是根据其价值来判断的
解决数学其他领域的独立性（并为其提供工具）。
在这两种情况下，证据的权重都是由研究人员的共识来衡量的
在外地工作。
第3类证据还通过一组研究人员的共识来衡量
理论（及其哲学），而是源于对内在本质的分析
由最大迭代概念表示的集合概念的极大性特征。超宇宙计划提供了一种推导数学的策略这种观念的后果。
为了更清楚地说明HP如何得出最大值的结果V的我将讨论#-Generation的情况以及对最佳最大值的搜索标准。
#一代是惠普的一大成功。它为高度最大值提供了强大的数学标准，这意味着所有先前已知的高度最大值原理并提供了关于如何最大化V的高度的优雅描述
类似于通过大基数的存在（或等效地，通过0#的存在）使L的高度最大化的方式。有充分的理由相信
#-Generation将被集合论学家和哲学家社区接受
集合论作为高度极大值的明确表达。
宽度最大值当然比高度最大值困难得多，各种可能的宽度最大值的制定、分析和综合标准尚处于早期阶段。基本的IMH是一个好的开始，但必须综合起来
与#一代。目前最大的挑战是处理配方
使用参数的宽度最大值。最大协议是一个有前途的方法。但需要强调的是，数学上宽度最大原则的分析具有挑战性，并且肯定存在一些问题
程序开发中出现错误，导致网络原则不一致
（这种情况已经发生过好几次了）。这种错误的转弯不会损害
该计划，而是提供对本质的有价值的进一步理解
最大化。
HP的目标是经过大量数学工作后得出最佳结果
集合域的高度和宽度的极大值准则，提供最大迭代概念的完整数学分析。正如已经说过的，这种标准是否最佳的验证取决于研究人员的共识
研究集合论及其哲学。最大迭代的可导性
概念指的是这种广受追捧的最佳标准的形式推导性的
最有趣的是从极大性导出的一阶陈述，但它是
已经明确该计划中正在制定的标准，例如
本文提到的几乎都是非一阶的。我的预测是
最佳标准将包括某种形式的SIMH，因此意味着
CH的（一阶）失效。
我仍然乐观地认为，当这个计划的发现结合起来时
随着集合论的进一步研究及其在解决其他数学领域的独立性问题中的应用，论文所表达的预测
集合论真理将得到令人满意的实现。但首先有很多工作要做做完了。
参考
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[3]T.Arrigoni和S.Friedman，超宇宙计划，符号逻辑公报，
第19卷，第1期，2013年3月，第77-96页。
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客观性、现实性和证明。数学哲学中的FilMat研究，F
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施普林格，2016年，即将出现。
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[6]A.Beller、R.Jensen和P.Welch，《编码宇宙》，剑桥大学出版社1982年。
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单数基数，已提交。
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数理逻辑，卷。15、2015年第02期。
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数学，F.Baccuni，A.Sereni（编辑），《波士顿哲学与历史研究》
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和可计算性理论，西安大略大学系列第9卷
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编辑，《牛津真理手册》（牛津：克拉伦登出版社，2015年）。
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R.Solovay和H.Woodin）。
已收到\\j已收到
补充说明
玄宇宙计划将宇宙V序数，基数，幂集最大化。
序数最大化，遵循高度潜在主义。
基数最大化，有一个序数阿尔法，它对基数k的子集是强绝对的，如果基数k是一个无限的且正则的基数，那么阿尔法的基数最多为k，这里会有一个集合力迫，cardmax（k+）（基数最大化k+）成立。
序数最大化，遵循宽度完成主义。
而IMH内模型假设不满足宽度完成主义。
所以要转移到V-逻辑，也就是逻辑多元的公理上。
V-逻辑能满足宽度完成主义，且它的常元符号W-能够间接地表示V的外模型，而逻辑多元是所有可传递模型的集合（-是在W上面的)。
我们对IMH的讨论始终是关于没有参数的句子。如果我们引入参数，就会产生更强的形式。
首先注意将参数引入IMH的困难。例如
该声明
“如果一个带有参数ω的句子在1在V的外模型中成立，那么它在内模型”
不一致，因为参数ω在1外部模型中可以变得可数并且因此上述对于句子“ω在1是可数的”。如果我们然而要求ω1被保留，那么我们就得到了一致原理。
定理13.设SIMH(ω1)为以下原理：如果一个带有参数的句子
ω1在保留ω1的外部模型中成立，然后在内部模型中成立。然后SIMH(ω1)是一致的（假设基数很大）。
证明。再次使用PD得到实数R，使得M(S)的理论，最小传递性包含S的ZFC模型对于R之上的所有S图灵来说是固定的。现在假设phi(ω1)是M(R)的ω1保留外模型N中的句子为真，其中ω1表示M(R)的ω1。那么就像IMH的一致性证明一样，我们可以将N编码为M(S)对于R之上的某个实S图灵，而且这种编码是ω1保留的。
由于phi(ω1)在M(S)的可定义内模型中成立，并且ω1在M(R)中是相同的，并且M(S)，由此可知M(R)也有满足phi(ω1)的内模型。✷
上述论点利用了Jensen编码保留ω1的事实。这是然而，除非CH成立，否则ω2不保持，因此我们有以下
开放式问题：
问题14.设SIMH(ω1，ω2)为以下原则：如果一个带有参数ω1，ω2的句子在ω1保留和ω2保留的外模型中成立，那么它成立在内部模型中。那么SIMH(ω1，ω2)是否一致（假设基数很大）？
SIMH(ω1，ω2)意味着CH失败，因为任何模型都具有基数保留外部模型，其中有从ω2到实数的注入。有类似的吗
M∗
不满足CH的最小模型M(R)的(R)？有编码吗
定理表明M*的任何外部模型
(R)保留ω1和ω2有M*形式的进一步外部模型(S)，也具有相同的ω1和ω2？如果是这样，那么我们可以建立SIMH(ω1，ω2)的一致性。
SIMH最通用的形式使用绝对参数。如果某个公式在保留的所有外部模型中定义了参数p，则该参数p是绝对的基数达到并包括p的遗传基数，即p的传递闭包。那么绝对参数p的SIMH(p)表明如果带有参数p的句子保存在保留基数向上的外部模型中到p的遗传基数，则它在内部模型中成立。完整的SIMH（强内模型假设）指出这对于每个绝对参数都成立p。
SIMH与莱维绝对性的增强密切相关。例如，
将Lévy(ω1)定义为带有参数ω1的Σ1公式是绝对值的陈述，对于ω1保留的外部模型；这是从SIMH(ω1)得出的，因此是持续的。但Lévy(ω1，ω2)的一致性，即Σ1与参数的绝对性
保留这些基数的外部模型的ω1、ω2是开放的。
SIMH#
具有#代的SIMH的综合可以表述如下：V
如果V是#生成的并且每当句子phi具有绝对值时，则满足SIMH#
参数保存在#生成的外部模型中，其基数与Vup相同
对于这些参数的遗传基数，phi也适用于五。一个特殊情况是SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的参数是ω1，我们只关心ω1保留的外部模型。
定理15。[15]假设大基数，SIMH#(ω1)是一致的。
证明。假设有一个伍丁红衣主教，上面有一个不可访问的。对于每个实数R令M#(R)为Lα[R]，其中α最小，因此Lα[R]是#生成的。伍丁上面不可访问的基数意味着有足够的投射确定性来启用
我们使用马丁引理来找到一个实数R，使得M#(S)的理论是常数对于STuring-aboveR。我们声称M#(R)满足SIMH#(ω1)：事实上，令M为#生成的ω1保留M#(R)的外部模型，满足某个句子phi(ω1)。
令α为M#(R)的序数高度（=M的序数高度）。从结果来看，之前引用的Jensen的观点（[6]的定理9.1），M有一个#生成的ω1保留
对于一些实S，且R≤TS，外模型W的形式为Lα[S]。当然α是最小的
因此Lα[S]是#生成的。所以W等于M#(S)并且W的ω1等于ω1M#(R)。通过R的选择，M#(R)也有一个可定义的内模型，满足ψ(ω1).✷
然而，与SIMH(ω1，ω2)一样，SIMH#(ω1，ω2)的一致性是开放的。
4.9极大值协议
该协议旨在将高度和宽度最大值的研究组织为三个阶段。
第1阶段。最大化序数（高度最大值）。
第2阶段。最大化序数后，最大化基数。
第3阶段。最大化序数和基数后，最大化幂集（宽度最大）。
第1阶段由#代负责。所以我们现在关注第二阶段，即基数最大化。
根据第一阶段，我们现在假设V是#生成的，并且在讨论时，V的外部模型我们只考虑那些也是#生成的模型。
我们想要一个标准，它表示对于每个基数κ，κ+一样大
尽可能。首先，让我们考虑κ=ω的情况，因此我们想要最大化ω1。当然，基本问题如下。作为#-的集合通用扩展生成的模型也是#生成的：
事实。V有一个#生成的外部模型，其中ω在1是可数的。
但我们肯定想要这样的东西：ωL[x]1
对于每个实数x都是可数的。
这样做的原因是ωL[x]1，与ω不同在1，一般来说，在V和所有的之间是绝对的
它的外部模型。
定义16.令p为V中的一个参数，P为V中的一组参数。然后如果存在参数来自P的公式phi，则p相对于P是强绝对的
定义V中的p以及所有#生成的V保留基数的外部模型
直到并包括中提到的参数的遗传基数
10
通常我们会取P由某个无限基数κ的所有子集组成，在这种情况下，上述定义中的基数保留指的是基数最多并包括κ。
k最大(κ+)（对于κ来说是无限基数）。假设序数α是强的
相对于κ子集的绝对值。那么α的基数最多为κ。
可以证明，如果κ是正则的，则在哪个CardMax(先生+)成立。
问题17.CardMax是否一致，其中CardMax表示CardMax(κ+)为所有无限基数κ，无论是正则基数还是奇异基数？
内部基数极大性
实现基数极大性的另一种方法是将V的基数与那些相关联其内部模型。两个大的内部模型是HOD，遗传性的阶级
序数可定义集，以及较小的内部模型S，即[13]的稳定核心。V是每个模型的类通用性。
令M表示内部模型。
M-基本违规。对于每个无限基数k，k+大于κ+M。
在[9]中表明HOD-基数违规是一致的。我们能否加强
这？
问题18.对于每个无限基数κ，κ是否一致+无法访问，HOD中可测量甚至超紧凑？这与HOD替换为一致吗
稳定核心S？
Shelah的结果表明，对于某些固定的情况，κ的所有子集都属于HODx，当κ是不可数共尾性的奇异强极限基数时，κ的子集x。
根据[8]，这在可数共尾性上不一定成立。
问题19.对于每个无限基数κ，κ是否一致+大于K+Sx（相对于x的稳定核心）对于κ的每个子集x？
10我们感谢一位裁判指出早期版本的基数极大性
较弱的参数绝对性假设是不一致的。类似的现象与弱绝对参数出现在[18]的定理10中。
HOD和S之间的一个主要区别是，虽然任何集合都是集合通用的，HOD，S的情况并非如此。
问题20.对于每个无限基数κ，κ的某个子集是否一致+对于κ的任何子集x来说，Sx不是集合通用的吗？
对这三个问题中任何一个的积极回答都会产生强大的内部影响力。
V的基数极大原则。
第三阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集。
这是我们重新审视SIMH的地方，但仅限于#代和基本保存。再次假设V是#生成的。
如果存在无参数公式，则V中的参数p是基数绝对的
在V的所有#生成的外部模型中定义p，这些模型与V具有相同的基数。
SIMH#(CP)（保留基数SIMH#）。假设p是绝对基数参数，V∗
是#生成的V的外部模型，与V和具有相同的基数
是一个带有参数p的句子，它在V中成立∗。那么ψ在内模型中成立V的。
问题21.SIMH#(CP)是否一致？
请注意，SIMH#(CP)意味着CH的严重故障。
4.10宽度不可辨
极大协议的替代方案（理想情况下应与它）是宽度不可辨别性。动机是提供V宽度的描述
类似于#-Generation提供的高度描述。
回想一下，通过#-Generation，我们得出以下结论：
V0≺V1≺···≺V=V∞≺V∞+1≺···
其中i
是Vj的排名初始段。此外，型号Vi
形成一个强烈意义上的难以辨别的模型的集合。这张照片的结果是从高度反射开始的分析，首先是V必须有无限多个初始段Vi，它们是V中的基本段。
类似地，我们引入宽度反射。我们想说V有正确的内部模型是“V中的基本模型”。当然，这不可能是字面上的意思正确，就好像V0是V的基本子模型，其序数与V相同，那么它是容易看出V0等于V。相反，我们使用基本嵌入。
宽度反射。对于每个序数α，都有一个适当的基本子模型H
V使得Vα⊆H且H是服从的，即H∩Vβ对于每个序数都属于Vb
同等效果：
宽度反射。对于每个序数α，都有一个不平凡的基本嵌入
j:V0→V，临界点至少为α，使得j是可以接受的，即j↾(Vβ)
V0
对于每个序数β都属于V。
如果存在一个不平凡的服从j：V0→V，如第二个所示，我们写V0
宽度反射的公式。这种关系是传递性的。
命题22.(a)如果V0
(b)宽度反射相对于拉姆齐基数的存在是一致的。
证明。(a)这是根据库南定理得出的，即不存在非平凡的
从V到V的基本嵌入。
(b)假设κ是拉姆齐。那么可以得出以下形式的任何结构
M=(Vκ，ε，...)具有无界的不可辨别集合，即无界子集
I的κ使得对于每个n，来自I的任意两个递增n元组满足相同的条件
M中的公式。现在将其应用于M=(Vκ，ε，<)，其中<是Vκ的良序
长度κ。令J为I的任意无界子集，使得I\\J为无界且对于任意α<κ，设H(J∪α)表示M中J∪α的Skolem壳。则H(J∪α)为Vκ的基本子模型，不等于Vκ，因为I\\J中没有元素
大于α就属于它。由于Vκ包含κ的所有有界子集，因此可以得出以下结论
H(J∪α)是可行的。✷
上面(b)中的参数的一个变体产生任意长的一致性
有限链V0
问题23.长度Ord+1的V0
Vi的联盟等于V吗？
后者将是制定一致的标准的良好开端。
宽度不可辨别性，类似于宽度最大值的标准
#-Generation提供的高度最大值。
4.11全知
通过OMT(V)，即V的外模型理论，我们指的是具有V中的任意参数在V的所有外部模型中都成立。我们已经看到使用V逻辑，OMT(V)可在V上定义+。然而对于许多宇宙V，OMT(V)实际上是V上的一阶可定义的。据说这些宇宙是无所不知。
回想一下塔斯基关于真理的不可定义性的结果的以下版本：
命题24.参数来自V且在V中成立的句子集合为
在V中不能用参数（一阶）定义。
然而令人惊讶的是，麦克·斯坦利证明了OMT(V)确实可以是V-可定义的。
定理25.(M.Stanley[30])假设在V中存在一个真类可测基数，并且该类实际上是V+-平稳，即Ord(V)是正则的，相对于V+-可定义函数，此类与Ord(V)中的每个俱乐部相交
这是V+-可定义。那么OMT(V)是V可定义的。
证明。使用V逻辑，我们可以翻译这样的陈述：一阶句子phi
（参数来自V）在V的所有外部模型中都适用于句子的有效性∗
在V逻辑中，可以通过V表达的事实
+由Σ1句子组成。使用这个我们表明V的所有外部模型中都成立的phi集合是V可定义的。
由于Ord(V)相对于V是正则的
+-可定义的功能我们可以组建一个俱乐部
Ord(V)中的C，使得对于C中的κ，存在来自Hyp(Vκ)的Σ1基本嵌入
进入V+（具有临界点κ，将κ发送到Ord(V)）。事实上C可以选择为在+-可定义。
对于C中的任意κ令phi∗
κ是Vκ逻辑的句子，使得phi在所有外部都成立Vκ当且仅当phi的模型∗K
有效（Hyp(Vκ)的Σ1属性）。通过基本性，phi∗K
已验证
当且仅当
∗
已验证。
现在假设phi在V的所有外部模型中都成立，即phi∗
已验证。那么ψ∗K是对于C中的所有κ均有效，并且由于可测量值形成V
+-固定类，有一个可测量κ使得phi∗K
已验证。
相反，假设ψ∗K
对于某些可测量的κ是有效的。现在选择正常的
测量κ上的U并迭代(H(κ+)，U)用于Ord(V)步骤以获得有根据的结构（H*，U*)。（这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何A中的测量可以迭代，而不会失去α步骤的有根据性，对于任何A中的序数α。）然后H*等于Hyp(V∗）对于一些V＊⊆V。根据基本原理，句子ψ
∗V∗断言phi在V的所有外部模型中都成立∗
已验证。但作为
在∗是V的内部模型，phi也适用于V的所有外部模型。
因此，如果对于某个可测量的κ属于OMT(Vκ)，则phi恰好属于OMT(V)，并且这是一阶可表达的。✷
全知需要可测量的基数吗？事实上，斯坦利能够
只使用拉姆齐红衣主教，但就全知的一致性而言，我们有
下列的：
定理26.([16])假设κ不可访问且GCH成立。然后有
Vκ[G]形式的全知模型，其中G是V的泛型。此外，Vκ[G]带有可定义的井序。
全知证明可以用任意的外在来对待真理
以类似于集合泛型扩展中的真值的方式进行内部建模
使用集合强制的标准可定义性和真值引理来处理。事实上，情况甚至更好，因为整个外模型理论是一阶可定义的，不仅仅是该理论对有限复杂性句子的限制，强制设置的情况。（主要区别在于，在强制设置的情况下，地面模型V在其集合通用扩展中是统一可定义的，因此完整的OMT(V)不能由命题24在V中一阶可定义。全知V出于同样的原因，不能在其任意外部模型中统一定义。）
另请注意，根据定理25，全知与#代可以很好地综合：
我们只需要使用具有足够多可测量基数的模型。
4.12惠普的未来
我们已经讨论了类型1的证据，它来自集合论作为集合论的一个分支数学，以及类型2的证据，来自集合论作为基础的作用，对于数学。在第一种情况下，证据是根据其对集合论数学发展的价值来判断的，在第二种情况下，证据是根据其价值来判断的
解决数学其他领域的独立性（并为其提供工具）。
在这两种情况下，证据的权重都是由研究人员的共识来衡量的
在外地工作。
第3类证据还通过一组研究人员的共识来衡量
理论（及其哲学），而是源于对内在本质的分析
由最大迭代概念表示的集合概念的极大性特征。超宇宙计划提供了一种推导数学的策略这种观念的后果。
为了更清楚地说明HP如何得出最大值的结果V的我将讨论#-Generation的情况以及对最佳最大值的搜索标准。
#一代是惠普的一大成功。它为高度最大值提供了强大的数学标准，这意味着所有先前已知的高度最大值原理并提供了关于如何最大化V的高度的优雅描述
类似于通过大基数的存在（或等效地，通过0#的存在）使L的高度最大化的方式。有充分的理由相信
#-Generation将被集合论学家和哲学家社区接受
集合论作为高度极大值的明确表达。
宽度最大值当然比高度最大值困难得多，各种可能的宽度最大值的制定、分析和综合标准尚处于早期阶段。基本的IMH是一个好的开始，但必须综合起来
与#一代。目前最大的挑战是处理配方
使用参数的宽度最大值。最大协议是一个有前途的方法。但需要强调的是，数学上宽度最大原则的分析具有挑战性，并且肯定存在一些问题
程序开发中出现错误，导致网络原则不一致
（这种情况已经发生过好几次了）。这种错误的转弯不会损害
该计划，而是提供对本质的有价值的进一步理解
最大化。
HP的目标是经过大量数学工作后得出最佳结果
集合域的高度和宽度的极大值准则，提供最大迭代概念的完整数学分析。正如已经说过的，这种标准是否最佳的验证取决于研究人员的共识
研究集合论及其哲学。最大迭代的可导性
概念指的是这种广受追捧的最佳标准的形式推导性的
最有趣的是从极大性导出的一阶陈述，但它是
已经明确该计划中正在制定的标准，例如
本文提到的几乎都是非一阶的。我的预测是
最佳标准将包括某种形式的SIMH，因此意味着
CH的（一阶）失效。
我仍然乐观地认为，当这个计划的发现结合起来时
随着集合论的进一步研究及其在解决其他数学领域的独立性问题中的应用，论文所表达的预测
集合论真理将得到令人满意的实现。但首先有很多工作要做做完了。
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已收到\\j已收到
补充说明
玄宇宙计划将宇宙V序数，基数，幂集最大化。
序数最大化，遵循高度潜在主义。
基数最大化，有一个序数阿尔法，它对基数k的子集是强绝对的，如果基数k是一个无限的且正则的基数，那么阿尔法的基数最多为k，这里会有一个集合力迫，cardmax（k+）（基数最大化k+）成立。
序数最大化，遵循宽度完成主义。
而IMH内模型假设不满足宽度完成主义。
所以要转移到V-逻辑，也就是逻辑多元的公理上。
V-逻辑能满足宽度完成主义，且它的常元符号W-能够间接地表示V的外模型，而逻辑多元是所有可传递模型的集合（-是在W上面的)。
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